MediuContinuitateClasa 11

Problemă rezolvată de Continuitate

MediuContinuitateFuncția de gradul IFuncția de gradul al II-lea
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, definită prin f(x)={ax2+2x+b,daca˘ x<23x+1,daca˘ x≥2f(x) = \begin{cases} ax^2 + 2x + b, & \text{dacă } x < 2 \\ 3x + 1, & \text{dacă } x \geq 2 \end{cases}, unde a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Să se determine valorile reale ale lui aa și bb pentru care funcția ff este continuă pe R\mathbb{R}. Apoi, pentru valorile găsite, să se calculeze f(0)+f(3)f(0) + f(3).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Se scrie condiția de continuitate în x=2x = 2: lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2+f(x)=f(2)\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2). Se calculează lim⁡x→2−f(x)=a⋅22+2⋅2+b=4a+4+b\lim_{x \to 2^-} f(x) = a \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 + b = 4a + 4 + b, lim⁡x→2+f(x)=3⋅2+1=7\lim_{x \to 2^+} f(x) = 3 \cdot 2 + 1 = 7, și f(2)=7f(2) = 7. Se obține ecuația 4a+b+4=74a + b + 4 = 7, adică 4a+b=34a + b = 3.
23 puncte
Se verifică continuitatea pentru x≠2x \neq 2: pentru x<2x < 2, ff este polinom de gradul II, deci continuă; pentru x>2x > 2, ff este funcție de gradul I, deci continuă. Condiția esențială este cea de la x=2x = 2.
32 puncte
Se rezolvă ecuația 4a+b=34a + b = 3. Există infinit de soluții de forma b=3−4ab = 3 - 4a, cu a∈Ra \in \mathbb{R} arbitrar, deoarece nu există alte constrângeri. Se notează soluția generală.
41 punct
Pentru a,ba, b satisfăcând 4a+b=34a + b = 3, se calculează f(0)+f(3)f(0) + f(3). f(0)=a⋅02+2⋅0+b=bf(0) = a \cdot 0^2 + 2 \cdot 0 + b = b, f(3)=3⋅3+1=10f(3) = 3 \cdot 3 + 1 = 10, deci f(0)+f(3)=b+10=(3−4a)+10=13−4af(0) + f(3) = b + 10 = (3 - 4a) + 10 = 13 - 4a, unde a∈Ra \in \mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Continuitate

Ușor#1ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡x→2x2−5x+6x2−12x+20\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}.
Ușor#2ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Calculați limita lim⁡x→2x3−3x−2x3−8\lim_{x\to 2}\frac{x^3-3x-2}{x^3-8}.
Ușor#3ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x3−2x−1x5−2x−1\lim_{x\to1} \frac{x^3 - 2x - 1}{x^5 - 2x - 1}.
Mediu#4ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→41+2x−3x−2\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 3}{\sqrt{x} - 2}.
Vezi toate problemele de Continuitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Continuitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.