MediuInducție matematicăClasa 9

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, numărul 11n+1+122n−111^{n+1} + 12^{2n-1} este divizibil cu 133.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm pentru n=1n=1: 112+121=121+12=13311^{2} + 12^{1} = 121 + 12 = 133, care este divizibil cu 133.
23 puncte
Presupunem că pentru un k≥1k \geq 1, 11k+1+122k−111^{k+1} + 12^{2k-1} este divizibil cu 133, adică există un întreg mm astfel încât 11k+1+122k−1=133⋅m11^{k+1} + 12^{2k-1} = 133 \cdot m.
34 puncte
Demonstrăm pentru n=k+1n=k+1: 11k+2+122k+1=11⋅11k+1+144⋅122k−111^{k+2} + 12^{2k+1} = 11 \cdot 11^{k+1} + 144 \cdot 12^{2k-1}. Folosind ipoteza, 11k+1=133m−122k−111^{k+1} = 133m - 12^{2k-1}. Înlocuim: 11(133m−122k−1)+144⋅122k−1=11⋅133m−11⋅122k−1+144⋅122k−1=11⋅133m+133⋅122k−1=133(11m+122k−1)11(133m - 12^{2k-1}) + 144 \cdot 12^{2k-1} = 11\cdot133m - 11\cdot12^{2k-1} + 144\cdot12^{2k-1} = 11\cdot133m + 133\cdot12^{2k-1} = 133(11m + 12^{2k-1}), deci divizibil cu 133.
41 punct
Prin inducție matematică, 11n+1+122n−111^{n+1} + 12^{2n-1} este divizibil cu 133 pentru orice n≥1n \geq 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.