MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Studiați monotonia și convexitatea funcției ff, determinând intervalele pe care este monotonă (crescătoare sau descrescătoare), intervalele de convexitate și concavitate, punctele de extrem local și punctele de inflexiune.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculul derivatei întâi: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x.\
23 puncte
Rezolvarea ecuației f′(x)=0f'(x)=0, obținând x=0x=0 și x=2x=2. Analiza semnului derivatei: pe (−∞,0)(-\infty,0), f′(x)>0f'(x)>0, deci ff crescătoare; pe (0,2)(0,2), f′(x)<0f'(x)<0, deci ff descrescătoare; pe (2,∞)(2,\infty), f′(x)>0f'(x)>0, deci ff crescătoare. Punctele critice sunt x=0x=0 (maxim local, f(0)=2f(0)=2) și x=2x=2 (minim local, f(2)=−2f(2)=-2).\
32 puncte
Calculul derivatei a doua: f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6.\
43 puncte
Rezolvarea ecuației f′′(x)=0f''(x)=0, obținând x=1x=1. Analiza semnului derivatei a doua: pe (−∞,1)(-\infty,1), f′′(x)<0f''(x)<0, deci ff concavă; pe (1,∞)(1,\infty), f′′(x)>0f''(x)>0, deci ff convexă. Punctul de inflexiune este x=1x=1, f(1)=0f(1)=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.