MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiVectori
Se consideră vectorii a⃗=2i⃗−j⃗+3k⃗\vec{a} = 2\vec{i} - \vec{j} + 3\vec{k}, b⃗=i⃗+4j⃗−2k⃗\vec{b} = \vec{i} + 4\vec{j} - 2\vec{k}, c⃗=mi⃗+j⃗+k⃗\vec{c} = m\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}, unde m∈Rm \in \mathbb{R}. Determinați mm astfel încât vectorii să fie liniar dependenți, folosind determinantul matricii formate din coordonatele lor. Interpretați geometric rezultatul.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scrieți matricea coordonatelor: (2−1314−2m11)\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \\ m & 1 & 1 \end{pmatrix} și formula determinantului DD.
24 puncte
Calculați D=∣2−1314−2m11∣=2(4⋅1−(−2)⋅1)+1(1⋅1−(−2)⋅m)+3(1⋅1−4⋅m)=16−10mD = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \\ m & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(4 \cdot 1 - (-2) \cdot 1) + 1(1 \cdot 1 - (-2) \cdot m) + 3(1 \cdot 1 - 4 \cdot m) = 16 - 10m.
32 puncte
Condiția pentru dependență liniară: D=0⇒16−10m=0⇒m=85D = 0 \Rightarrow 16 - 10m = 0 \Rightarrow m = \frac{8}{5}.
41 punct
Interpretare geometrică: Pentru m=85m = \frac{8}{5}, vectorii sunt coplanari, adică se află în același plan.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.