MediuVectoriClasa 9

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectori
a) Demonstrați că pentru orice vectori a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b}, vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și a⃗−b⃗\vec{a} - \vec{b} sunt ortogonali dacă și numai dacă ∣a⃗∣=∣b⃗∣|\vec{a}| = |\vec{b}|. b) Aplicați pentru vectorii a⃗=3i⃗+4j⃗\vec{a} = 3\vec{i} + 4\vec{j} și b⃗=5i⃗−12j⃗\vec{b} = 5\vec{i} - 12\vec{j}: verificați dacă sunt îndeplinite condițiile de ortogonalitate și calculați unghiul dintre a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Scrierea condiției de ortogonalitate: (a⃗+b⃗)⋅(a⃗−b⃗)=0(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0.
22 puncte
Expandarea produsului scalar: ∣a⃗∣2−a⃗⋅b⃗+b⃗⋅a⃗−∣b⃗∣2=∣a⃗∣2−∣b⃗∣2|\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2, deoarece a⃗⋅b⃗=b⃗⋅a⃗\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}.
32 puncte
Concluzia: ∣a⃗∣2−∣b⃗∣2=0|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 0, deci ∣a⃗∣=∣b⃗∣|\vec{a}| = |\vec{b}|, ceea ce demonstrează echivalența.
42 puncte
Pentru vectorii dați, calculul modulelor: ∣a⃗∣=32+42=5|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5, ∣b⃗∣=52+(−12)2=13|\vec{b}| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = 13; verificarea condiției: 5≠135 \neq 13, deci vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și a⃗−b⃗\vec{a} - \vec{b} nu sunt ortogonali.
53 puncte
Calculul produsului scalar a⃗⋅b⃗=3⋅5+4⋅(−12)=15−48=−33\vec{a} \cdot \vec{b} = 3\cdot5 + 4\cdot(-12) = 15 - 48 = -33, și determinarea unghiului θ\theta: cos⁡θ=−335⋅13=−3365\cos \theta = \frac{-33}{5 \cdot 13} = \frac{-33}{65}, deci θ=arccos⁡(−3365)\theta = \arccos\left(-\frac{33}{65}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.