MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Fie sistemul de ecuații liniare: {x+2y−z=12x−y+3z=4x+(a+1)y−2z=a\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x - y + 3z = 4 \\ x + (a+1)y - 2z = a \end{cases}, unde aa este un parametru real. Determinați valorile lui aa pentru care sistemul este compatibil și, în aceste cazuri, găsiți soluțiile.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrieți matricea sistemului A=(12−12−131a+1−2)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & a+1 & -2 \end{pmatrix} și calculați determinantul det⁡(A)=1⋅∣−13a+1−2∣−2⋅∣231−2∣+(−1)⋅∣2−11a+1∣=−2(a+1)−3(a+1)−2(−4−3)−(2(a+1)+1)=−5a−5+14−2a−2−1=−7a+6\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ a+1 & -2 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & a+1 \end{vmatrix} = -2(a+1) - 3(a+1) - 2(-4 - 3) - (2(a+1) + 1) = -5a -5 +14 -2a -2 -1 = -7a +6. Așadar, det⁡(A)=−7a+6\det(A) = -7a +6.
24 puncte
Discutați compatibilitatea sistemului folosind teorema lui Kronecker-Capelli. Pentru det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, adică a≠67a \neq \frac{6}{7}, sistemul este compatibil determinat (soluție unică). Pentru a=67a = \frac{6}{7}, calculați rangurile: matricea extinsă este A‾=(12−112−1341137−267)\overline{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 & 4 \\ 1 & \frac{13}{7} & -2 & \frac{6}{7} \end{pmatrix}. Se verifică că rang(A)=2\text{rang}(A) = 2 și rang(A‾)=3\text{rang}(\overline{A}) = 3, deci sistemul este incompatibil.
33 puncte
Pentru a≠67a \neq \frac{6}{7}, rezolvați sistemul, de exemplu prin regula lui Cramer: x=det⁡(Ax)det⁡(A)x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)}, y=det⁡(Ay)det⁡(A)y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)}, z=det⁡(Az)det⁡(A)z = \frac{\det(A_z)}{\det(A)}, unde AxA_x, AyA_y, AzA_z sunt matricele obținute înlocuind coloana corespunzătoare cu termenii liberi. Calculați: det⁡(Ax)=∣12−14−13aa+1−2∣=−2a+8\det(A_x) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ a & a+1 & -2 \end{vmatrix} = -2a+8, det⁡(Ay)=∣11−12431a−2∣=−3a+9\det(A_y) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 4 & 3 \\ 1 & a & -2 \end{vmatrix} = -3a+9, det⁡(Az)=∣1212−141a+1a∣=−a+3\det(A_z) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 4 \\ 1 & a+1 & a \end{vmatrix} = -a+3. Soluția este x=−2a+8−7a+6x = \frac{-2a+8}{-7a+6}, y=−3a+9−7a+6y = \frac{-3a+9}{-7a+6}, z=−a+3−7a+6z = \frac{-a+3}{-7a+6}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.