MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteStudiul funcțiilorDerivate
Considerați funcția f:R∖{−1,1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−2xx2−1f(x) = \frac{x^3 - 2x}{x^2 - 1}. Determinați asimptotele funcției ff și studiați dacă graficul funcției intersectează asimptota oblică.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Determinarea asimptotelor verticale: se rezolvă x2−1=0x^2 - 1 = 0, deci x=−1x = -1 și x=1x = 1. Se calculează limitele: lim⁡x→−1f(x)\lim_{x \to -1} f(x) și lim⁡x→1f(x)\lim_{x \to 1} f(x); ambele sunt infinite, deci dreptele x=−1x = -1 și x=1x = 1 sunt asimptote verticale.
24 puncte
Determinarea asimptotei oblice: se calculează m=lim⁡x→∞f(x)x=lim⁡x→∞x3−2xx(x2−1)=1m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 2x}{x(x^2 - 1)} = 1 și n=lim⁡x→∞(f(x)−mx)=lim⁡x→∞(x3−2xx2−1−x)=lim⁡x→∞−xx2−1=0n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - m x) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^3 - 2x}{x^2 - 1} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{-x}{x^2 - 1} = 0. Deci, asimptota oblică este y=xy = x.
33 puncte
Studiul intersecției: se rezolvă ecuația f(x)=xf(x) = x, adică x3−2xx2−1=x⇒x3−2x=x3−x⇒−2x=−x⇒x=0\frac{x^3 - 2x}{x^2 - 1} = x \Rightarrow x^3 - 2x = x^3 - x \Rightarrow -2x = -x \Rightarrow x = 0. Deoarece x=0x = 0 este în domeniu, graficul intersectează asimptota oblică în punctul (0,0)(0, 0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.