MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteLogaritmiStudiul funcțiilor
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x}. a) Determinați asimptotele funcției ff. b) Studiați monotonia funcției ff.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
16 puncte
Asimptotele:
  • Asimptotă verticală: se consideră x→0+x \to 0^+. lim⁡x→0+ln⁡xx=−∞\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x} = -\infty, deci x=0x=0 este asimptotă verticală.
  • Asimptotă orizontală: se consideră x→∞x \to \infty. lim⁡x→∞ln⁡xx=0\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0, deci y=0y=0 este asimptotă orizontală la +∞+\infty. Nu există asimptotă oblică deoarece există asimptotă orizontală.
24 puncte
Monotonia: se calculează derivata: f′(x)=1x⋅x−ln⁡x⋅1x2=1−ln⁡xx2f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}. Semnul derivatei: f′(x)>0f'(x) >0 dacă 1−ln⁡x>01 - \ln x >0, adică ln⁡x<1\ln x <1, deci x<ex < e. f′(x)<0f'(x) <0 pentru x>ex > e. Astfel, ff este strict crescătoare pe (0,e)(0, e) și strict descrescătoare pe (e,∞)(e, \infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.