MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Considerăm sistemul de ecuații liniare cu parametrul real mm: {(m+1)x+2y−z=1x+(m−1)y+z=23x−y+mz=3\begin{cases} (m+1)x + 2y - z = 1 \\ x + (m-1)y + z = 2 \\ 3x - y + mz = 3 \end{cases}. Determinați pentru care valori ale lui mm sistemul are soluție unică, nu are soluție sau are o infinitate de soluții. Găsiți soluția când este unică.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scrieți sistemul sub formă matricială A⋅X=BA \cdot X = B, unde A=(m+12−11m−113−1m)A = \begin{pmatrix} m+1 & 2 & -1 \\ 1 & m-1 & 1 \\ 3 & -1 & m \end{pmatrix}, X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, B=(123)B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} și calculați determinantul det⁡(A)=m3−m2−4m+4\det(A) = m^3 - m^2 - 4m + 4.
23 puncte
Analizați det⁡(A)=0\det(A) = 0 pentru a găsi m=1,m=2,m=−2m = 1, m = 2, m = -2. Pentru m∉{−2,1,2}m \notin \{ -2, 1, 2 \}, sistemul are soluție unică (rangul lui A este 3).
32 puncte
Pentru m=1m = 1, verificând rangul matricilor extinse, sistemul are o infinitate de soluții (rang A = 2, rang extins = 2). Pentru m=2m = 2 sau m=−2m = -2, sistemul nu are soluție (rang A = 2, rang extins = 3).
42 puncte
Pentru m=0m = 0 (de exemplu), rezolvați sistemul prin metoda lui Cramer sau substituție, obținând x=1,y=0,z=0x = 1, y = 0, z = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.