MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie AnaliticăAplicații ale trigonometriei în geometrie
În planul cu sistemul de coordonate ortogonal, se consideră punctele A(1,2)A(1,2), B(4,5)B(4,5), și C(3,1)C(3,1). Să se calculeze măsura unghiului ∠BAC\angle BAC folosind produsul scalar al vectorilor AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}, apoi să se determine aria triunghiului ABCABC folosind modulul produsului vectorial al acestor vectori.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se calculează vectorii AB⃗=B−A=(4−1)i⃗+(5−2)j⃗=3i⃗+3j⃗\vec{AB} = B - A = (4-1)\vec{i} + (5-2)\vec{j} = 3\vec{i} + 3\vec{j} și AC⃗=C−A=(3−1)i⃗+(1−2)j⃗=2i⃗−j⃗\vec{AC} = C - A = (3-1)\vec{i} + (1-2)\vec{j} = 2\vec{i} - \vec{j}.
22 puncte
Se calculează produsul scalar AB⃗⋅AC⃗=3∗2+3∗(−1)=6−3=3\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3*2 + 3*(-1) = 6 - 3 = 3.
32 puncte
Se calculează normele: ∥AB⃗∥=32+32=18=32\|\vec{AB}\| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}, și ∥AC⃗∥=22+(−1)2=4+1=5\|\vec{AC}\| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}.
42 puncte
Se determină cosinusul unghiului: cos⁡∠BAC=AB⃗⋅AC⃗∥AB⃗∥∥AC⃗∥=332∗5=110\cos \angle BAC = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{\|\vec{AB}\| \|\vec{AC}\|} = \frac{3}{3\sqrt{2} * \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{10}}. Apoi, unghiul: ∠BAC=arccos⁡(110)\angle BAC = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right).
52 puncte
Se calculează aria triunghiului folosind formula ariei cu determinant: Aria=12∣AB⃗×AC⃗∣=12∣x1y2−x2y1∣=12∣3∗(−1)−3∗2∣=12∣−3−6∣=12∗9=4.5Aria = \frac{1}{2} | \vec{AB} \times \vec{AC} | = \frac{1}{2} | x_1 y_2 - x_2 y_1 | = \frac{1}{2} | 3*(-1) - 3*2 | = \frac{1}{2} | -3 - 6 | = \frac{1}{2} * 9 = 4.5.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.