MediuLogică matematicăClasa 9

Problemă rezolvată de Logică matematică

MediuLogică matematicăInducție matematică
Considerăm propoziția P(n):"32n+1+2n−1P(n): "3^{2n+1} + 2^{n-1} este divizibil cu 7". Demonstrați că P(n)P(n) este adevărată pentru orice număr natural n≥1n \geq 1 folosind inducția matematică și analizați valabilitatea implicației logice P(k)⇒P(k+1)P(k) \Rightarrow P(k+1) în demonstrație.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificarea cazului de bază pentru n=1n=1: calculăm 32⋅1+1+21−1=33+20=27+1=283^{2 \cdot 1 + 1} + 2^{1-1} = 3^3 + 2^0 = 27 + 1 = 28, care este divizibil cu 7, deci P(1)P(1) este adevărată.
24 puncte
Presupunerea inductivă: P(k)P(k) este adevărată pentru un k≥1k \geq 1, adică există m∈Zm \in \mathbb{Z} astfel încât 32k+1+2k−1=7m3^{2k+1} + 2^{k-1} = 7m.
33 puncte
Demonstrația pasului inductiv: considerăm P(k+1)P(k+1): 32(k+1)+1+2(k+1)−1=32k+3+2k=9⋅32k+1+2⋅2k−1=9(7m−2k−1)+2⋅2k−1=63m−9⋅2k−1+2⋅2k−1=63m−7⋅2k−1=7(9m−2k−1)3^{2(k+1)+1} + 2^{(k+1)-1} = 3^{2k+3} + 2^k = 9 \cdot 3^{2k+1} + 2 \cdot 2^{k-1} = 9(7m - 2^{k-1}) + 2 \cdot 2^{k-1} = 63m - 9 \cdot 2^{k-1} + 2 \cdot 2^{k-1} = 63m - 7 \cdot 2^{k-1} = 7(9m - 2^{k-1}), deci divizibil cu 7. Analiza logică: implicația P(k)⇒P(k+1)P(k) \Rightarrow P(k+1) este demonstrată, iar prin principiul inducției matematice, P(n)P(n) este adevărată pentru toate n≥1n \geq 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logică matematică

Ușor#1Logică matematicăFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră ecuația x2−(m+1)x+m=0x^2 - (m+1)x + m = 0, cu m∈Rm \in \mathbb{R}. Fie propozițiile: pp: „Discriminantul ecuației este pozitiv.” qq: „Suma rădăcinilor este mai mare decât produsul rădăcinilor.” rr: „Ecuația are o rădăcină egală cu 1.” a) Determinați valorile lui mm pentru care propoziția pp este adevărată. b) Stabiliți dacă propoziția qq este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}. c) Demonstrați că propoziția p∧q→rp \land q \rightarrow r este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}.
Ușor#2Logică matematicăNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră numărul complex z=a+biz = a + bi, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Fie propozițiile: PP: „zz este real.” QQ: „z2z^2 este real.” RR: „∣z∣=1|z| = 1.” a) Determinați condițiile asupra lui aa și bb pentru care propoziția PP este adevărată. b) Arătați că propoziția QQ este echivalentă cu ab=0ab = 0. c) Studiați valoarea de adevăr a implicației P∨Q→RP \lor Q \rightarrow R și dați un contraexemplu dacă este falsă.
Ușor#3Logică matematicăTeoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie predicatele p(x):x2−3x+2≥0p(x): x^2 - 3x + 2 \geq 0 și q(x):x≤1q(x): x \leq 1 sau x≥2x \geq 2, definite pe mulțimea numerelor reale R\mathbb{R}. Să se studieze valabilitatea echivalenței logice p(x)⇔q(x)p(x) \Leftrightarrow q(x) pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R} și să se determine mulțimile A={x∈R∣p(x)}A = \{x \in \mathbb{R} \mid p(x)\} și B={x∈R∣q(x)}B = \{x \in \mathbb{R} \mid q(x)\}.
Mediu#4Logică matematicăFuncția de gradul al II-leaFuncția de gradul I
Fie polinomul P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c, cu a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Se consideră propozițiile: AA: „P(x)P(x) are două rădăcini reale distincte”, BB: „Δ=b2−4ac>0\Delta = b^2 - 4ac > 0”, CC: „P(x)P(x) are cel puțin o rădăcină reală”. Să se studieze implicațiile logice între AA, BB și CC, în cazul a≠0a \neq 0 și în cazul a=0a=0.
Vezi toate problemele de Logică matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logică matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.