MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie matricea A=(a101a101a)A = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui aa pentru care determinantul lui AA este egal cu 0. Apoi, pentru a=2a=2, rezolvați sistemul liniar A⋅(xyz)=(123)A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} folosind regula lui Cramer.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm determinantul matricei A: det⁡(A)=a⋅det⁡(a11a)−1⋅det⁡(110a)+0⋅det⁡(1a01)=a(a2−1)−1(a−0)=a3−a−a=a3−2a\det(A) = a \cdot \det\begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{pmatrix} - 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix} + 0 \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = a(a^2 - 1) - 1(a - 0) = a^3 - a - a = a^3 - 2a.
22 puncte
Punem condiția det⁡(A)=0\det(A) = 0, adică a3−2a=0⇒a(a2−2)=0a^3 - 2a = 0 \Rightarrow a(a^2 - 2) = 0, deci valorile sunt a=0a = 0, a=2a = \sqrt{2}, a=−2a = -\sqrt{2}.
33 puncte
Pentru a=2a=2, matricea A devine (210121012)\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}, iar sistemul este {2x+y=1x+2y+z=2y+2z=3\begin{cases} 2x + y = 1 \\ x + 2y + z = 2 \\ y + 2z = 3 \end{cases}. Calculăm det⁡(A)\det(A) pentru a=2a=2: det⁡(A)=23−2⋅2=8−4=4\det(A) = 2^3 - 2 \cdot 2 = 8 - 4 = 4. Apoi, folosind regula lui Cramer, calculăm determinanții pentru x,y,zx, y, z: det⁡x=∣110221312∣=1⋅(4−1)−1⋅(4−3)+0=3−1=2\det_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (4 - 1) - 1 \cdot (4 - 3) + 0 = 3 - 1 = 2, det⁡y=∣210121032∣=2⋅(4−3)−1⋅(2−0)+0=2−2=0\det_y = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot (4 - 3) - 1 \cdot (2 - 0) + 0 = 2 - 2 = 0, det⁡z=∣211122013∣=2⋅(6−2)−1⋅(3−0)+1⋅(1−0)=8−3+1=6\det_z = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot (6 - 2) - 1 \cdot (3 - 0) + 1 \cdot (1 - 0) = 8 - 3 + 1 = 6.
42 puncte
Soluțiile sistemului sunt x=det⁡xdet⁡(A)=24=12x = \frac{\det_x}{\det(A)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, y=det⁡ydet⁡(A)=04=0y = \frac{\det_y}{\det(A)} = \frac{0}{4} = 0, z=det⁡zdet⁡(A)=64=32z = \frac{\det_z}{\det(A)} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.