MediuCombinatoricăClasa 11

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pentru n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, n≥3n \geq 3, demonstrați că ∑k=0n(−1)kCnk⋅k2=0\sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k \cdot k^2 = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Considerați funcția f(x)=(1−x)nf(x) = (1-x)^n. Dezvoltarea binomială dă f(x)=∑k=0nCnk(−x)k=∑k=0n(−1)kCnkxkf(x) = \sum_{k=0}^{n} C_n^k (-x)^k = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k x^k.
23 puncte
Calculați derivata de ordinul doi: f′′(x)=n(n−1)(1−x)n−2f''(x) = n(n-1)(1-x)^{n-2}. Derivând suma, f′′(x)=∑k=0n(−1)kCnkk(k−1)xk−2f''(x) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k k(k-1) x^{k-2}.
32 puncte
Luați x=1x=1. Pentru n≥3n \geq 3, f′′(1)=n(n−1)(0)n−2=0f''(1) = n(n-1)(0)^{n-2} = 0.
42 puncte
Din f′′(1)=0f''(1)=0, avem ∑k=0n(−1)kCnkk(k−1)=0\sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k k(k-1) = 0. Dar ∑k=0n(−1)kCnkk(k−1)=∑k=0n(−1)kCnkk2−∑k=0n(−1)kCnkk\sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k k(k-1) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k k^2 - \sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k k. Se știe că ∑k=0n(−1)kCnk=0\sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k = 0 și ∑k=0n(−1)kCnkk=0\sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k k = 0 (din f′(1)=0f'(1)=0 pentru n≥1n \geq 1). Prin urmare, ∑k=0n(−1)kCnkk2=0\sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k k^2 = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.