MediuContinuitateClasa 11

Problemă rezolvată de Continuitate

MediuContinuitatePolinoameAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Considerați funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)={x2+ax+bx−2,daca˘ x≠2c,daca˘ x=2f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + ax + b}{x-2}, & \text{dacă } x \neq 2 \\ c, & \text{dacă } x = 2 \end{cases}. Se știe că lim⁡x→2f(x)=5\lim_{x \to 2} f(x) = 5 și că ff este continuă în x=2x=2. Determinați a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Pentru existența limitei în x=2x=2, numărătorul trebuie să se anuleze în x=2x=2, deci 22+a⋅2+b=0⇒4+2a+b=02^2 + a\cdot2 + b = 0 \Rightarrow 4 + 2a + b = 0.
23 puncte
Factorizăm numărătorul: x2+ax+b=(x−2)(x+d)x^2 + ax + b = (x-2)(x+d). Comparând coeficienții, obținem a=d−2a = d-2 și b=−2db = -2d.
32 puncte
Din lim⁡x→2f(x)=5\lim_{x \to 2} f(x) = 5, avem lim⁡x→2(x−2)(x+d)x−2=lim⁡x→2(x+d)=2+d=5\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+d)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+d) = 2+d = 5, deci d=3d=3.
42 puncte
Atunci a=3−2=1a = 3-2 = 1, b=−2⋅3=−6b = -2\cdot3 = -6, și pentru continuitate, c=f(2)=5c = f(2) = 5.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Continuitate

Ușor#1ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡x→2x2−5x+6x2−12x+20\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}.
Ușor#2ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Calculați limita lim⁡x→2x3−3x−2x3−8\lim_{x\to 2}\frac{x^3-3x-2}{x^3-8}.
Ușor#3ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x3−2x−1x5−2x−1\lim_{x\to1} \frac{x^3 - 2x - 1}{x^5 - 2x - 1}.
Mediu#4ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→41+2x−3x−2\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 3}{\sqrt{x} - 2}.
Vezi toate problemele de Continuitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Continuitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.