MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMatematică aplicatăMonotonie și convexitate
Dintr-o foaie de carton pătrată cu latura de 12 cm, se taie pătrate congruente cu latura xx cm din fiecare colț, iar apoi se îndoaie marginile pentru a forma o cutie fără capac. Determinați valoarea lui xx astfel încât volumul cutiei să fie maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se definește funcția volumului V(x)=x(12−2x)2V(x) = x(12-2x)^2, cu domeniul x∈(0,6)x \in (0,6).
24 puncte
Se calculează derivata V′(x)=(12−2x)2−4x(12−2x)=4(6−x)(6−3x)V'(x) = (12-2x)^2 - 4x(12-2x) = 4(6-x)(6-3x). Se rezolvă V′(x)=0V'(x)=0, obținându-se x=2x=2 cm (singura soluție în domeniu).
33 puncte
Se analizează semnul derivatei: pentru x∈(0,2)x \in (0,2), V′(x)>0V'(x) > 0 (funcția crescătoare); pentru x∈(2,6)x \in (2,6), V′(x)<0V'(x) < 0 (funcție descrescătoare), deci x=2x=2 este punct de maxim. Volumul maxim este V(2)=128V(2)=128 cm³.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.