MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie Analitică
În spațiul euclidian tridimensional, se consideră punctele A(1,2,3)A(1,2,3), B(4,−1,0)B(4,-1,0), C(2,0,1)C(2,0,1). Să se determine coordonatele punctului DD situat pe dreapta de ecuație x−12=y+1−1=z3\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{3} astfel încât vectorii AB⃗\vec{AB}, AC⃗\vec{AC} și AD⃗\vec{AD} să fie coplanari.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Calculăm vectorii AB⃗=B−A=(3,−3,−3)\vec{AB} = B - A = (3, -3, -3) și AC⃗=C−A=(1,−2,−2)\vec{AC} = C - A = (1, -2, -2).\n
22 puncte
Punctul DD aparține dreptei date, deci coordonatele sale sunt de forma D(1+2t,−1−t,3t)D(1+2t, -1-t, 3t), unde t∈Rt \in \mathbb{R}.\n
31 punct
Vectorul AD⃗=D−A=(2t,−3−t,3t−3)\vec{AD} = D - A = (2t, -3-t, 3t-3).\n
42 puncte
Condiția de coplanaritate a vectorilor AB⃗\vec{AB}, AC⃗\vec{AC}, AD⃗\vec{AD} este ca determinantul matricii formate din coordonatele lor să fie zero: ∣3−3−31−2−22t−3−t3t−3∣=0\begin{vmatrix} 3 & -3 & -3 \\ 1 & -2 & -2 \\ 2t & -3-t & 3t-3 \end{vmatrix} = 0.\n
52 puncte
Calculăm determinantul: 3⋅∣−2−2−3−t3t−3∣−(−3)⋅∣1−22t3t−3∣+(−3)⋅∣1−22t−3−t∣=03 \cdot \begin{vmatrix} -2 & -2 \\ -3-t & 3t-3 \end{vmatrix} - (-3) \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2t & 3t-3 \end{vmatrix} + (-3) \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2t & -3-t \end{vmatrix} = 0. Rezultă ecuația 3[(−2)(3t−3)−(−2)(−3−t)]+3[(1)(3t−3)−(−2)(2t)]−3[(1)(−3−t)−(−2)(2t)]=03[(-2)(3t-3) - (-2)(-3-t)] + 3[(1)(3t-3) - (-2)(2t)] - 3[(1)(-3-t) - (-2)(2t)] = 0, care se simplifică la t=1t=1.\n
61 punct
Pentru t=1t=1, obținem D(3,−2,3)D(3, -2, 3).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.