MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelor
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−x2+xf(x) = e^{-x^2} + x. a) Studiați monotonia funcției ff. b) Determinați intervalele de convexitate și concavitate ale funcției ff. c) Demonstrați că ff are un punct de inflexiune și determinați coordonatele acestuia.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi: f′(x)=−2xe−x2+1f'(x) = -2x e^{-x^2} + 1. Studiați semnul: f′(x)=0⇔2xe−x2=1f'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x e^{-x^2} = 1. Observați că funcția g(x)=2xe−x2g(x)=2x e^{-x^2} este impară; ecuația are soluție unică x0>0x_0>0 (se poate justifica prin monotonie sau grafic). f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x<x0x < x_0 și f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x>x0x > x_0.
23 puncte
Calculați derivata a doua: f′′(x)=(4x2−2)e−x2f''(x) = (4x^2 - 2) e^{-x^2}. Studiați semnul: f′′(x)=0⇔4x2−2=0⇔x=±22f''(x)=0 \Leftrightarrow 4x^2-2=0 \Leftrightarrow x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}. f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x∈(−∞,−22)∪(22,∞)x \in (-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty) și f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x∈(−22,22)x \in (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}).
32 puncte
ff este crescătoare pe (−∞,x0](-\infty, x_0] și descrescătoare pe [x0,∞)[x_0, \infty). ff este convexă pe (−∞,−22]∪[22,∞)(-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}] \cup [\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty) și concavă pe [−22,22][-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}].
42 puncte
Punctele de inflexiune sunt x=±22x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}, deoarece f′′f'' schimbă semnul. Coordonatele: f(±22)=e−1/2±22f\left(\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = e^{-1/2} \pm \frac{\sqrt{2}}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.