MediuInducție matematicăClasa 10

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăNumere ComplexeTrigonometrie
Fie z=cos⁡θ+isin⁡θz = \cos \theta + i \sin \theta, unde θ∈R\theta \in \mathbb{R} și ii este unitatea imaginară. Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural nn, zn=cos⁡nθ+isin⁡nθz^n = \cos n\theta + i \sin n\theta.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Verificăm cazul de bază pentru n=1n=1. Avem z1=cos⁡θ+isin⁡θ=cos⁡1⋅θ+isin⁡1⋅θz^1 = \cos \theta + i \sin \theta = \cos 1 \cdot \theta + i \sin 1 \cdot \theta, deci afirmația este adevărată.
22 puncte
Presupunem că afirmația este adevărată pentru n=kn=k, adică zk=cos⁡kθ+isin⁡kθz^k = \cos k\theta + i \sin k\theta.
36 puncte
Demonstrăm pentru n=k+1n=k+1. Calculăm zk+1=zk⋅z=(cos⁡kθ+isin⁡kθ)(cos⁡θ+isin⁡θ)z^{k+1} = z^k \cdot z = (\cos k\theta + i \sin k\theta)(\cos \theta + i \sin \theta). Folosind înmulțirea numerelor complexe și identitățile trigonometrice: (cos⁡kθ+isin⁡kθ)(cos⁡θ+isin⁡θ)=cos⁡kθcos⁡θ−sin⁡kθsin⁡θ+i(sin⁡kθcos⁡θ+cos⁡kθsin⁡θ)=cos⁡(kθ+θ)+isin⁡(kθ+θ)=cos⁡((k+1)θ)+isin⁡((k+1)θ)(\cos k\theta + i \sin k\theta)(\cos \theta + i \sin \theta) = \cos k\theta \cos \theta - \sin k\theta \sin \theta + i(\sin k\theta \cos \theta + \cos k\theta \sin \theta) = \cos(k\theta + \theta) + i \sin(k\theta + \theta) = \cos((k+1)\theta) + i \sin((k+1)\theta). Astfel, zk+1=cos⁡(k+1)θ+isin⁡(k+1)θz^{k+1} = \cos (k+1)\theta + i \sin (k+1)\theta, deci afirmația este adevărată pentru n=k+1n=k+1. Prin inducție matematică, este adevărată pentru orice n∈Nn \in \mathbb{N}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.