MediuSisteme de Ecuații NeliniareClasa 9

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Neliniare

MediuSisteme de Ecuații NeliniareTrigonometrie
Rezolvați sistemul: {sin⁡x+sin⁡y=1cos⁡x+cos⁡y=1\begin{cases} \sin x + \sin y = 1 \\ \cos x + \cos y = 1 \end{cases} pentru x,y∈[0,2π)x, y \in [0, 2\pi).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se folosesc formulele: sin⁡x+sin⁡y=2sin⁡(x+y2)cos⁡(x−y2)\sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) și cos⁡x+cos⁡y=2cos⁡(x+y2)cos⁡(x−y2)\cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right). Se notează A=x+y2A = \frac{x+y}{2} și B=x−y2B = \frac{x-y}{2}. Sistemul devine {2sin⁡Acos⁡B=12cos⁡Acos⁡B=1\begin{cases} 2 \sin A \cos B = 1 \\ 2 \cos A \cos B = 1 \end{cases}.
24 puncte
Din cele două ecuații, se obține sin⁡A=cos⁡A\sin A = \cos A, deci tan⁡A=1\tan A = 1. În [0,π)[0, \pi) pentru AA (deoarece x,y∈[0,2π)x,y \in [0,2\pi) implică A∈[0,π)A \in [0,\pi)), avem A=π4A = \frac{\pi}{4} sau A=5π4A = \frac{5\pi}{4}. Substituind în 2sin⁡Acos⁡B=12 \sin A \cos B = 1, pentru A=π4A = \frac{\pi}{4}, sin⁡A=22\sin A = \frac{\sqrt{2}}{2}, deci cos⁡B=12=22\cos B = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}, astfel B=π4B = \frac{\pi}{4} sau B=7π4B = \frac{7\pi}{4} (echivalent B=±π4B = \pm \frac{\pi}{4}). Pentru A=5π4A = \frac{5\pi}{4}, sin⁡A=−22\sin A = -\frac{\sqrt{2}}{2}, deci cos⁡B=−22\cos B = -\frac{\sqrt{2}}{2}, și B=3π4B = \frac{3\pi}{4} sau B=5π4B = \frac{5\pi}{4}.
33 puncte
Se calculează x=A+Bx = A + B și y=A−By = A - B. Pentru A=π4,B=π4A = \frac{\pi}{4}, B = \frac{\pi}{4}: x=π2,y=0x = \frac{\pi}{2}, y = 0. Pentru A=π4,B=7π4A = \frac{\pi}{4}, B = \frac{7\pi}{4}: x=2π≡0,y=−3π2≡π2x = 2\pi \equiv 0, y = -\frac{3\pi}{2} \equiv \frac{\pi}{2} (adunând 2π2\pi). Pentru A=5π4,B=3π4A = \frac{5\pi}{4}, B = \frac{3\pi}{4}: x=2π≡0,y=π2x = 2\pi \equiv 0, y = \frac{\pi}{2}. Pentru A=5π4,B=5π4A = \frac{5\pi}{4}, B = \frac{5\pi}{4}: x=5π2≡π2,y=0x = \frac{5\pi}{2} \equiv \frac{\pi}{2}, y = 0. În [0,2π)[0,2\pi), soluțiile distincte sunt (0,π2)(0, \frac{\pi}{2}) și (π2,0)(\frac{\pi}{2}, 0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Neliniare

Ușor#1Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: y+x−1=0y + x - 1 = 0, ∣y∣−x−1=0|y| - x - 1 = 0
Ușor#2Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: x+3∣y∣−1=0x + 3|y| - 1 = 0, x+y+3=0x + y + 3 = 0
Mediu#3Sisteme de Ecuații NeliniareFuncția de gradul I
Rezolvați sistemul: y−2x+1=0y - 2x + 1 = 0, y−∣x∣−1=0y - |x| - 1 = 0
Ușor#4Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: ∣x−1∣+y=0|x - 1| + y = 0, 2x−y=12x - y = 1
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Neliniare →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Neliniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.