MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateLogaritmi
Se consideră funcția g:(0,∞)→Rg: (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=ln⁡(x2+1)−xg(x) = \ln(x^2 + 1) - x. Să se studieze monotonia și convexitatea acestei funcții.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se calculează derivata întâi: g′(x)=2xx2+1−1=2x−(x2+1)x2+1=−x2+2x−1x2+1=−(x−1)2x2+1g'(x) = \frac{2x}{x^2+1} - 1 = \frac{2x - (x^2+1)}{x^2+1} = \frac{-x^2 + 2x -1}{x^2+1} = -\frac{(x-1)^2}{x^2+1}.
23 puncte
Se observă că g′(x)≤0g'(x) \leq 0 pentru orice x>0x > 0, cu egalitate doar la x=1x=1. Astfel, funcția gg este descrescătoare pe (0,∞)(0, \infty).
32 puncte
Se calculează derivata a doua: g′′(x)=ddx(2xx2+1−1)=2(x2+1)−2x(2x)(x2+1)2=2x2+2−4x2(x2+1)2=2−2x2(x2+1)2=2(1−x2)(x2+1)2g''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{2x}{x^2+1} - 1\right) = \frac{2(x^2+1) - 2x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^2+2 - 4x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}.
42 puncte
Se studiază semnul derivatei a doua: pentru x∈(0,1)x \in (0,1), g′′(x)>0g''(x) > 0 deci gg convexă; pentru x∈(1,∞)x \in (1, \infty), g′′(x)<0g''(x) < 0 deci gg concavă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.