MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteDerivateStudiul funcțiilor
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x}. Determinați asimptotele graficului funcției ff și punctele sale de extrem.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Domeniul de definiție: Df=(0,∞)D_f = (0, \infty); calculul limitelor pentru asimptote: lim⁡x→0+f(x)=−∞\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty (comportare asimptotică, dar 0∉Df0 \notin D_f, deci nu există asimptotă verticală în interiorul domeniului), lim⁡x→∞f(x)=0\lim_{x \to \infty} f(x) = 0, deci asimptota orizontală y=0y = 0.
24 puncte
Derivata: f′(x)=1−ln⁡xx2f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}; semnul derivatei: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(0,e)x \in (0, e) (funcția crescătoare), f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(e,∞)x \in (e, \infty) (funcția descrescătoare), deci punctul de maxim la x=ex = e, cu f(e)=1ef(e) = \frac{1}{e}.
33 puncte
Confirmarea asimptotelor: asimptota orizontală y=0y = 0 este confirmată de limită; nu există asimptote verticale sau oblice suplimentare. Discuția extremelor: maximul local și global este (e,1e)(e, \frac{1}{e}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.