MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriTrigonometrieSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră vectorii nenuli u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v} în plan, cu ∣u⃗∣=4|\vec{u}| = 4, ∣v⃗∣=5|\vec{v}| = 5 și u⃗⋅v⃗=10\vec{u} \cdot \vec{v} = 10. a) Calculați unghiul dintre u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v}. b) Determinați ∣u⃗+v⃗∣|\vec{u} + \vec{v}| și ∣u⃗−v⃗∣|\vec{u} - \vec{v}|. c) Fie w⃗=αu⃗+βv⃗\vec{w} = \alpha \vec{u} + \beta \vec{v}, cu α,β∈R\alpha, \beta \in \mathbb{R}. Determinați α\alpha și β\beta astfel încât w⃗\vec{w} să fie perpendicular pe u⃗\vec{u} și ∣w⃗∣=1|\vec{w}| = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Pentru a), folosind u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta, avem cos⁡θ=104⋅5=12\cos \theta = \frac{10}{4 \cdot 5} = \frac{1}{2}, deci θ=60∘\theta = 60^\circ.
23 puncte
Pentru b), ∣u⃗+v⃗∣2=∣u⃗∣2+∣v⃗∣2+2u⃗⋅v⃗=16+25+20=61|\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} = 16 + 25 + 20 = 61, deci ∣u⃗+v⃗∣=61|\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{61}. Similar, ∣u⃗−v⃗∣2=16+25−20=21|\vec{u} - \vec{v}|^2 = 16 + 25 - 20 = 21, deci ∣u⃗−v⃗∣=21|\vec{u} - \vec{v}| = \sqrt{21}.
35 puncte
Pentru c), condițiile: w⃗⋅u⃗=0\vec{w} \cdot \vec{u} = 0 și ∣w⃗∣=1|\vec{w}| = 1. Avem w⃗=αu⃗+βv⃗\vec{w} = \alpha \vec{u} + \beta \vec{v}, deci w⃗⋅u⃗=α∣u⃗∣2+βv⃗⋅u⃗=16α+10β=0\vec{w} \cdot \vec{u} = \alpha |\vec{u}|^2 + \beta \vec{v} \cdot \vec{u} = 16\alpha + 10\beta = 0. ∣w⃗∣2=α2∣u⃗∣2+β2∣v⃗∣2+2αβu⃗⋅v⃗=16α2+25β2+20αβ=1|\vec{w}|^2 = \alpha^2 |\vec{u}|^2 + \beta^2 |\vec{v}|^2 + 2\alpha\beta \vec{u} \cdot \vec{v} = 16\alpha^2 + 25\beta^2 + 20\alpha\beta = 1. Din prima ecuație, β=−16α10=−8α5\beta = -\frac{16\alpha}{10} = -\frac{8\alpha}{5}. Înlocuind în a doua: 16α2+25(−8α5)2+20α(−8α5)=16α2+64α2−32α2=48α2=116\alpha^2 + 25\left(-\frac{8\alpha}{5}\right)^2 + 20\alpha\left(-\frac{8\alpha}{5}\right) = 16\alpha^2 + 64\alpha^2 - 32\alpha^2 = 48\alpha^2 = 1, deci α2=148\alpha^2 = \frac{1}{48}, α=±312\alpha = \pm \frac{\sqrt{3}}{12}. Atunci β=−85α=∓2315\beta = -\frac{8}{5} \alpha = \mp \frac{2\sqrt{3}}{15}. Soluțiile: α=312,β=−2315\alpha = \frac{\sqrt{3}}{12}, \beta = -\frac{2\sqrt{3}}{15} sau α=−312,β=2315\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{12}, \beta = \frac{2\sqrt{3}}{15}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.