MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Studiați monotonia și convexitatea funcției f:R∖{1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}, f(x)=x3x−1f(x) = \frac{x^3}{x-1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculul derivatei întâi: f′(x)=2x3−3x2(x−1)2=x2(2x−3)(x−1)2f'(x) = \frac{2x^3 - 3x^2}{(x-1)^2} = \frac{x^2(2x-3)}{(x-1)^2}.
22 puncte
Studiul semnului derivatei întâi: f′(x)=0⇒x=0f'(x)=0 \Rightarrow x=0 sau x=32x=\frac{3}{2}. Semnul: pe (−∞,1)(-\infty,1), f′(x)<0f'(x)<0 (cu excepția x=0x=0 unde f′(0)=0f'(0)=0); pe (1,32)(1,\frac{3}{2}), f′(x)<0f'(x)<0; pe (32,∞)(\frac{3}{2},\infty), f′(x)>0f'(x)>0. Astfel, ff este descrescătoare pe (−∞,1)(-\infty,1) și pe (1,32](1, \frac{3}{2}], și crescătoare pe [32,∞)[\frac{3}{2}, \infty).
33 puncte
Calculul derivatei a doua: f′′(x)=2x3−6x2+6x(x−1)3=2x(x2−3x+3)(x−1)3f''(x) = \frac{2x^3 -6x^2+6x}{(x-1)^3} = \frac{2x(x^2-3x+3)}{(x-1)^3}, unde x2−3x+3>0x^2-3x+3>0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}.
42 puncte
Studiul semnului derivatei a doua: f′′(x)>0f''(x)>0 pentru x<0x<0 și pentru x>1x>1; f′′(x)<0f''(x)<0 pentru x∈(0,1)x \in (0,1); f′′(0)=0f''(0)=0. Deci ff este convexă pe (−∞,0](-\infty,0] și pe (1,∞)(1,\infty), și concavă pe [0,1)[0,1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.