MediuIdentități algebriceClasa 10

Problemă rezolvată de Identități algebrice

MediuIdentități algebriceNumere ComplexeTrigonometrie
Fie z=cos⁡θ+isin⁡θz = \cos \theta + i \sin \theta, cu θ∈R\theta \in \mathbb{R}, θ≠2kπ\theta \neq 2k\pi pentru k∈Zk \in \mathbb{Z}. Arătați că 1+z1−z=icot⁡θ2\frac{1+z}{1-z} = i \cot \frac{\theta}{2} folosind identități algebrice și trigonometrice. Deduceți că 1+z1−z\frac{1+z}{1-z} este un număr pur imaginar.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem z=cos⁡θ+isin⁡θz = \cos \theta + i \sin \theta și exprimăm 1+z=1+cos⁡θ+isin⁡θ1+z = 1 + \cos \theta + i \sin \theta și 1−z=1−cos⁡θ−isin⁡θ1-z = 1 - \cos \theta - i \sin \theta.
24 puncte
Aplicăm identități trigonometrice: cos⁡θ=2cos⁡2θ2−1\cos \theta = 2\cos^2 \frac{\theta}{2} - 1 și sin⁡θ=2sin⁡θ2cos⁡θ2\sin \theta = 2\sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}. Atunci, 1+z=2cos⁡2θ2+2isin⁡θ2cos⁡θ2=2cos⁡θ2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)1+z = 2\cos^2 \frac{\theta}{2} + 2i \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} = 2\cos \frac{\theta}{2} \left( \cos \frac{\theta}{2} + i \sin \frac{\theta}{2} \right) și 1−z=2sin⁡2θ2−2isin⁡θ2cos⁡θ2=2sin⁡θ2(sin⁡θ2−icos⁡θ2)1-z = 2\sin^2 \frac{\theta}{2} - 2i \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} = 2\sin \frac{\theta}{2} \left( \sin \frac{\theta}{2} - i \cos \frac{\theta}{2} \right).
33 puncte
Simplificăm fracția: 1+z1−z=2cos⁡θ2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)2sin⁡θ2(sin⁡θ2−icos⁡θ2)=cos⁡θ2sin⁡θ2⋅cos⁡θ2+isin⁡θ2−icos⁡θ2+sin⁡θ2=icos⁡θ2sin⁡θ2=icot⁡θ2\frac{1+z}{1-z} = \frac{2\cos \frac{\theta}{2} \left( \cos \frac{\theta}{2} + i \sin \frac{\theta}{2} \right)}{2\sin \frac{\theta}{2} \left( \sin \frac{\theta}{2} - i \cos \frac{\theta}{2} \right)} = \frac{\cos \frac{\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}} \cdot \frac{\cos \frac{\theta}{2} + i \sin \frac{\theta}{2}}{-i \cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2}} = i \frac{\cos \frac{\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}} = i \cot \frac{\theta}{2}, care este pur imaginar deoarece partea reală este 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Identități algebrice

Greu#1Identități algebrice
Se consideră numerele reale x,y,zx, y, z care verifică x+y+z=0x + y + z = 0 și x2+y2+z2=6x^2 + y^2 + z^2 = 6. a) Demonstrați că xy+yz+zx=−3xy + yz + zx = -3. b) Calculați x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3. c) Determinați valoarea maximă a lui xyzxyz. d) Pentru x=1x = 1, determinați valorile lui yy și zz.
Greu#2Identități algebrice
Fie a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât a+b+c=0a + b + c = 0. Demonstrați că: a) a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc. b) a5+b5+c5=5abc(ab+bc+ca)a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(ab + bc + ca). c) Calculați a7+b7+c7abc(ab+bc+ca)\frac{a^7 + b^7 + c^7}{abc(ab + bc + ca)} dacă abc≠0abc \neq 0.
Ușor#3Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze că pentru orice numere reale aa și bb, cu a≠ba \neq b, are loc identitatea: a2−b2a−b=a+b\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b. Apoi, folosind această identitate, să se calculeze valoarea expresiei E=32−223−2+52−325−3E = \frac{3^2 - 2^2}{3 - 2} + \frac{5^2 - 3^2}{5 - 3}.
Mediu#4Identități algebriceTrigonometrie
Demonstrați identitatea sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) și rezolvați ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].
Vezi toate problemele de Identități algebrice →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Identități algebrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.