MediuEcuații iraționaleClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații iraționale

MediuEcuații iraționaleSisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul de ecuații {x+y=5x+y=13\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 \\ x + y = 13 \end{cases} în mulțimea numerelor reale.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Stabilirea condițiilor de existență: x≥0x \geq 0 și y≥0y \geq 0 deoarece radicalii sunt definiți doar pentru numere nenegative.
22 puncte
Din a doua ecuație, exprimăm y=13−xy = 13 - x. Înlocuim în prima ecuație: x+13−x=5\sqrt{x} + \sqrt{13 - x} = 5.
34 puncte
Rezolvarea ecuației iraționale x+13−x=5\sqrt{x} + \sqrt{13 - x} = 5: Ridicăm la pătrat: (x+13−x)2=25(\sqrt{x} + \sqrt{13 - x})^2 = 25, deci x+13−x+2x(13−x)=25x + 13 - x + 2\sqrt{x(13-x)} = 25, simplifică la 2x(13−x)=122\sqrt{x(13-x)} = 12, deci x(13−x)=6\sqrt{x(13-x)} = 6. Ridicăm iar la pătrat: x(13−x)=36x(13-x) = 36, adică 13x−x2=3613x - x^2 = 36 sau x2−13x+36=0x^2 - 13x + 36 = 0. Rezolvăm ecuația pătratică: x1=4x_1 = 4, x2=9x_2 = 9. Apoi, din y=13−xy = 13 - x, obținem perechile (4,9)(4,9) și (9,4)(9,4).
42 puncte
Verificarea soluțiilor: Ambele perechi (4,9)(4,9) și (9,4)(9,4) satisfac condițiile x≥0x \geq 0, y≥0y \geq 0 și ecuațiile inițiale: pentru (4,9)(4,9), 4+9=2+3=5\sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5 și 4+9=134 + 9 = 13; similar pentru (9,4)(9,4). Soluțiile sunt (4,9)(4,9) și (9,4)(9,4).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații iraționale

Greu#1Ecuații iraționale
Fie a>0a > 0 un parametru real. Se consideră ecuația x+a−x−a=1\sqrt{x + a} - \sqrt{x - a} = 1. a) Determinați condițiile de existență pentru xx. b) Rezolvați ecuația în funcție de aa. c) Pentru ce valori ale lui aa ecuația are soluție reală? d) Pentru a=2a = 2, calculați x2x^2.
Greu#2Ecuații iraționale
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru. Se consideră ecuația x2−4x+a=x−2\sqrt{x^2 - 4x + a} = x - 2. a) Determinați valorile lui aa pentru care ecuația are sens. b) Rezolvați ecuația în funcție de aa. c) Determinați valorile lui aa pentru care ecuația are exact două soluții reale distincte. d) Pentru a=5a = 5, calculați suma soluțiilor ecuației.
Greu#3Ecuații iraționale
Rezolvați în R\mathbb{R} ecuația x+3−x−2=4x+1\sqrt{x+3} - \sqrt{x-2} = \sqrt{4x+1}. a) Stabiliți condițiile de existență. b) Ridicați la pătrat și simplificați. c) Verificați soluțiile obținute.
Ușor#4Ecuații iraționaleDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația (x2−1)2x−1=0.(x^2 - 1)\sqrt{2x - 1} = 0.
Vezi toate problemele de Ecuații iraționale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații iraționale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.