MediuLogică matematicăClasa 11

Problemă rezolvată de Logică matematică

MediuLogică matematicăInducție matematicăȘiruri de numere reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, propoziția P(n):′12+22+...+n2=n(n+1)(2n+1)6′P(n): '1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}' este adevărată. Apoi, folosind această formulă, determinați pentru ce valori ale lui nn este adevărată implicația: dacă nn este par, atunci suma pătratelor este divizibilă cu 4. Analizați valabilitatea implicației inverse: dacă suma pătratelor este divizibilă cu 4, atunci nn este par.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Demonstrația prin inducție. Pentru n=1n=1: 12=1(2)(3)6=11^2 = \frac{1(2)(3)}{6} = 1, adevărat. Ipoteza de inducție: P(k)P(k) adevărată, adică 12+...+k2=k(k+1)(2k+1)61^2+...+k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}. Treapta inductivă: pentru n=k+1n=k+1, 12+...+k2+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2=(k+1)(k(2k+1)+6(k+1))6=(k+1)(2k2+7k+6)6=(k+1)(k+2)(2k+3)61^2+...+k^2+(k+1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = \frac{(k+1)(k(2k+1)+6(k+1))}{6} = \frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}, care este P(k+1)P(k+1).
23 puncte
Analiza implicației directe. Fie nn par, n=2mn=2m cu m∈N∗m \in \mathbb{N}^*. Suma pătratelor S=2m(2m+1)(4m+1)6=2m(2m+1)(4m+1)6S = \frac{2m(2m+1)(4m+1)}{6} = \frac{2m(2m+1)(4m+1)}{6}. Pentru divizibilitatea cu 4, verificăm cazuri: dacă mm este multiplu de 2, atunci 2m2m este divizibil cu 4, deci S divizibil cu 4; altfel, analizăm paritatea factorilor. Concluzie: implicația este adevărată pentru orice nn par.
33 puncte
Analiza implicației inverse. Verificăm dacă din SS divizibil cu 4 rezultă nn par. Considerăm nn impar, n=2m+1n=2m+1. Atunci S=(2m+1)(2m+2)(4m+3)6=(2m+1)2(m+1)(4m+3)6S = \frac{(2m+1)(2m+2)(4m+3)}{6} = \frac{(2m+1)2(m+1)(4m+3)}{6}. Simplificăm și examinăm divizibilitatea cu 4 pentru contraexemple. Găsim că există valori (e.g., n=1n=1: S=1S=1 nu divizibil cu 4; n=3n=3: S=14S=14 nu divizibil cu 4), dar pentru n=5n=5: S=55S=55 nu divizibil, deci implicația inversă este falsă, deoarece nu este valabilă pentru toate n.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logică matematică

Ușor#1Logică matematicăFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră ecuația x2−(m+1)x+m=0x^2 - (m+1)x + m = 0, cu m∈Rm \in \mathbb{R}. Fie propozițiile: pp: „Discriminantul ecuației este pozitiv.” qq: „Suma rădăcinilor este mai mare decât produsul rădăcinilor.” rr: „Ecuația are o rădăcină egală cu 1.” a) Determinați valorile lui mm pentru care propoziția pp este adevărată. b) Stabiliți dacă propoziția qq este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}. c) Demonstrați că propoziția p∧q→rp \land q \rightarrow r este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}.
Ușor#2Logică matematicăNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră numărul complex z=a+biz = a + bi, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Fie propozițiile: PP: „zz este real.” QQ: „z2z^2 este real.” RR: „∣z∣=1|z| = 1.” a) Determinați condițiile asupra lui aa și bb pentru care propoziția PP este adevărată. b) Arătați că propoziția QQ este echivalentă cu ab=0ab = 0. c) Studiați valoarea de adevăr a implicației P∨Q→RP \lor Q \rightarrow R și dați un contraexemplu dacă este falsă.
Ușor#3Logică matematicăTeoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie predicatele p(x):x2−3x+2≥0p(x): x^2 - 3x + 2 \geq 0 și q(x):x≤1q(x): x \leq 1 sau x≥2x \geq 2, definite pe mulțimea numerelor reale R\mathbb{R}. Să se studieze valabilitatea echivalenței logice p(x)⇔q(x)p(x) \Leftrightarrow q(x) pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R} și să se determine mulțimile A={x∈R∣p(x)}A = \{x \in \mathbb{R} \mid p(x)\} și B={x∈R∣q(x)}B = \{x \in \mathbb{R} \mid q(x)\}.
Mediu#4Logică matematicăFuncția de gradul al II-leaFuncția de gradul I
Fie polinomul P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c, cu a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Se consideră propozițiile: AA: „P(x)P(x) are două rădăcini reale distincte”, BB: „Δ=b2−4ac>0\Delta = b^2 - 4ac > 0”, CC: „P(x)P(x) are cel puțin o rădăcină reală”. Să se studieze implicațiile logice între AA, BB și CC, în cazul a≠0a \neq 0 și în cazul a=0a=0.
Vezi toate problemele de Logică matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logică matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.