MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind regula lui Cramer: {2x+3y−z=1x−y+2z=43x+2y+z=5\begin{cases} 2x + 3y - z = 1 \\ x - y + 2z = 4 \\ 3x + 2y + z = 5 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrieți matricea coeficienților M=(23−11−12321)M = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} și calculați determinantul principal: Δ=∣23−11−12321∣=2(−1⋅1−2⋅2)−3(1⋅1−2⋅3)+(−1)(1⋅2−(−1)⋅3)=2(−1−4)−3(1−6)−(2+3)=2(−5)−3(−5)−5=−10+15−5=0\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 2(-1\cdot1 - 2\cdot2) - 3(1\cdot1 - 2\cdot3) + (-1)(1\cdot2 - (-1)\cdot3) = 2(-1 - 4) - 3(1 - 6) - (2 + 3) = 2(-5) - 3(-5) - 5 = -10 + 15 - 5 = 0. Observați că Δ=0\Delta = 0, deci sistemul nu are soluție unică; verificați compatibilitatea.
23 puncte
Calculați determinanții pentru xx, yy, zz: Δx=∣13−14−12521∣=1(−1⋅1−2⋅2)−3(4⋅1−2⋅5)+(−1)(4⋅2−(−1)⋅5)=1(−1−4)−3(4−10)−(8+5)=−5−3(−6)−13=−5+18−13=0\Delta_x = \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 4 & -1 & 2 \\ 5 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1(-1\cdot1 - 2\cdot2) - 3(4\cdot1 - 2\cdot5) + (-1)(4\cdot2 - (-1)\cdot5) = 1(-1-4) - 3(4-10) - (8+5) = -5 - 3(-6) - 13 = -5 + 18 - 13 = 0, Δy=∣21−1142351∣=2(4⋅1−2⋅5)−1(1⋅1−2⋅3)+(−1)(1⋅5−4⋅3)=2(4−10)−1(1−6)−(5−12)=2(−6)−1(−5)−(−7)=−12+5+7=0\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 4 & 2 \\ 3 & 5 & 1 \end{vmatrix} = 2(4\cdot1 - 2\cdot5) - 1(1\cdot1 - 2\cdot3) + (-1)(1\cdot5 - 4\cdot3) = 2(4-10) - 1(1-6) - (5-12) = 2(-6) - 1(-5) - (-7) = -12 + 5 + 7 = 0, Δz=∣2311−14325∣=2(−1⋅5−4⋅2)−3(1⋅5−4⋅3)+1(1⋅2−(−1)⋅3)=2(−5−8)−3(5−12)+(2+3)=2(−13)−3(−7)+5=−26+21+5=0\Delta_z = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 4 \\ 3 & 2 & 5 \end{vmatrix} = 2(-1\cdot5 - 4\cdot2) - 3(1\cdot5 - 4\cdot3) + 1(1\cdot2 - (-1)\cdot3) = 2(-5-8) - 3(5-12) + (2+3) = 2(-13) - 3(-7) + 5 = -26 + 21 + 5 = 0.
33 puncte
Deoarece Δ=Δx=Δy=Δz=0\Delta = \Delta_x = \Delta_y = \Delta_z = 0, sistemul este compatibil nedeterminat. Rezolvați sistemul prin eliminare: din primele două ecuații, exprimați o variabilă în funcție de celelalte.
42 puncte
Din 2x+3y−z=12x + 3y - z = 1 și x−y+2z=4x - y + 2z = 4, rezolvați pentru xx și yy în funcție de zz și verificați cu a treia ecuație pentru consistență; obțineți soluția generală, de exemplu x=2−zx = 2 - z, y=z−1y = z - 1, cu z∈Rz \in \mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.