MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareGeometrie AnaliticăProgresii Aritmetice
Se consideră dreptele de ecuații: d1:2x−y=3d_1: 2x - y = 3, d2:x+3y=5d_2: x + 3y = 5, și d3:ax+by=cd_3: a x + b y = c, unde a,b,ca, b, c sunt numere reale. Știind că a,b,ca, b, c sunt în progresie aritmetică și că cele trei drepte sunt concurente, determinați a,b,ca, b, c.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Găsirea punctului de intersecție al dreptelor d1d_1 și d2d_2 prin rezolvarea sistemului {2x−y=3x+3y=5\begin{cases} 2x - y = 3 \\ x + 3y = 5 \end{cases}; se obține x=2x=2, y=1y=1.
23 puncte
Scrierea condițiilor: concurrency implică că punctul (2,1)(2,1) satisface d3d_3, deci 2a+b=c2a + b = c; progresia aritmetică dă 2b=a+c2b = a + c.
34 puncte
Rezolvarea sistemului {2a+b=c2b=a+c\begin{cases} 2a + b = c \\ 2b = a + c \end{cases}; din prima ecuație, c=2a+bc = 2a + b; înlocuind în a doua, 2b=a+2a+b⇒b=3a2b = a + 2a + b \Rightarrow b = 3a; atunci c=2a+3a=5ac = 2a + 3a = 5a. Soluția generală este a∈Ra \in \mathbb{R}, b=3ab = 3a, c=5ac = 5a, cu verificarea că dreptele sunt concurente pentru orice a≠0a \neq 0 (dacă a=0a=0, atunci d3d_3 devine 0⋅x+0⋅y=00 \cdot x + 0 \cdot y = 0, care nu este o dreaptă validă, dar în context, se consideră a,b,ca, b, c astfel încât d3d_3 să fie o dreaptă; de obicei, se exclude cazul trivial).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.