MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteLogaritmiStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:(0,∞)∖{1}→Rf: (0, \infty) \setminus \{1\} \to \mathbb{R}, f(x)=x+ln⁡(x)x−1f(x) = \frac{x + \ln(x)}{x-1}. Determinați asimptotele funcției ff.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Determinăm domeniul de definiție: x>0x > 0 (pentru logaritm) și x≠1x \neq 1 (pentru numitor), deci Df=(0,∞)∖{1}D_f = (0, \infty) \setminus \{1\}. Asimptota verticală: calculăm lim⁡x→1f(x)\lim_{x \to 1} f(x). Deoarece lim⁡x→1(x+ln⁡(x))=1+0=1≠0\lim_{x \to 1} (x + \ln(x)) = 1 + 0 = 1 \neq 0 și lim⁡x→1(x−1)=0\lim_{x \to 1} (x-1) = 0, avem asimptotă verticală x=1x = 1 (limitele laterale sunt infinite).
24 puncte
Asimptote orizontale: studiem lim⁡x→∞f(x)=lim⁡x→∞x+ln⁡(x)x−1=lim⁡x→∞1+ln⁡(x)x1−1x=1\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x + \ln(x)}{x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{\ln(x)}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = 1, deci asimptotă orizontală y=1y = 1 când x→∞x \to \infty. Pentru x→0+x \to 0^+, avem lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+x+ln⁡(x)x−1=0+(−∞)−1=+∞\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x + \ln(x)}{x-1} = \frac{0 + (-\infty)}{-1} = +\infty, dar x=0x=0 este o frontieră a domeniului și nu are asimptotă verticală în sens clasic deoarece funcția nu este definită în vecinătatea stângă a lui 00; totuși, comportamentul asimptotic indică o tendință infinită.
33 puncte
Poziția graficului față de asimptota orizontală: calculăm f(x)−1=x+ln⁡(x)x−1−1=x+ln⁡(x)−(x−1)x−1=ln⁡(x)+1x−1f(x) - 1 = \frac{x + \ln(x)}{x-1} - 1 = \frac{x + \ln(x) - (x-1)}{x-1} = \frac{\ln(x) + 1}{x-1}. Analizăm semnul acestei expresii pentru x>0,x≠1x > 0, x \neq 1 pentru a determina când graficul este deasupra sau dedesubtul asimptotei y=1y=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.