MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiGeometrie Analitică
În geometria analitică, se consideră punctele A(1,2,3)A(1,2,3), B(4,5,6)B(4,5,6), C(7,8,10)C(7,8,10) și D(x,y,z)D(x,y,z). Exprimați volumul tetraedrului ABCDABCD cu ajutorul unui determinant. Determinați condiția ca punctele A,B,C,DA, B, C, D să fie coplanare și găsiți ecuația planului determinat de A,B,CA, B, C.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Volumul tetraedrului ABCDABCD este dat de V=16∣det⁡(AB⃗,AC⃗,AD⃗)∣V = \frac{1}{6} |\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})|, unde AB⃗=(3,3,3)\vec{AB} = (3,3,3), AC⃗=(6,6,7)\vec{AC} = (6,6,7), AD⃗=(x−1,y−2,z−3)\vec{AD} = (x-1, y-2, z-3). \n
23 puncte
Calculează determinantul: det⁡=∣333667x−1y−2z−3∣\det = \begin{vmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 6 & 6 & 7 \\ x-1 & y-2 & z-3 \end{vmatrix}. Dezvoltă după prima linie: 3∣67y−2z−3∣−3∣67x−1z−3∣+3∣66x−1y−2∣=3[6(z−3)−7(y−2)]−3[6(z−3)−7(x−1)]+3[6(y−2)−6(x−1)]=18(z−3)−21(y−2)−18(z−3)+21(x−1)+18(y−2)−18(x−1)=21(x−1)−21(y−2)+18(y−2)−18(x−1)=3(x−1)−3(y−2)=3x−3−3y+6=3x−3y+33 \begin{vmatrix} 6 & 7 \\ y-2 & z-3 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} 6 & 7 \\ x-1 & z-3 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 6 & 6 \\ x-1 & y-2 \end{vmatrix} = 3[6(z-3) - 7(y-2)] - 3[6(z-3) - 7(x-1)] + 3[6(y-2) - 6(x-1)] = 18(z-3) - 21(y-2) - 18(z-3) + 21(x-1) + 18(y-2) - 18(x-1) = 21(x-1) - 21(y-2) + 18(y-2) - 18(x-1) = 3(x-1) - 3(y-2) = 3x - 3 - 3y + 6 = 3x - 3y + 3. \n
33 puncte
Condiția de coplanaritate este det⁡=0\det = 0, adică 3x−3y+3=03x - 3y + 3 = 0, sau x−y+1=0x - y + 1 = 0. Aceasta este ecuația planului care conține punctele A,B,CA, B, C și DD când sunt coplanare. Pentru a verifica planul determinat de A,B,CA, B, C, se poate observa că ecuația x−y+1=0x - y + 1 = 0 este satisfăcută de toate cele trei puncte: pentru A(1,2,3)A(1,2,3), 1−2+1=01-2+1=0; pentru B(4,5,6)B(4,5,6), 4−5+1=04-5+1=0; pentru C(7,8,10)C(7,8,10), 7−8+1=07-8+1=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.