MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=aex+be−x+cxf(x) = a e^{x} + b e^{-x} + c x, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Să se determine condițiile asupra lui a,b,ca, b, c pentru care ff este strict crescătoare și convexă pe R\mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 8 pași
11 punct
Calculăm derivata întâi: f′(x)=aex−be−x+cf'(x) = a e^{x} - b e^{-x} + c.
21 punct
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=aex+be−xf''(x) = a e^{x} + b e^{-x}.
31 punct
Condiția de convexitate: ff convexă pe R\mathbb{R} dacă f′′(x)≥0f''(x) \geq 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}.
42 puncte
Deoarece ex>0e^{x} > 0 și e−x>0e^{-x} > 0 pentru orice xx, avem f′′(x)≥0f''(x) \geq 0 pentru orice xx dacă și numai dacă a≥0a \geq 0 și b≥0b \geq 0.
51 punct
Condiția de monotonie strict crescătoare: ff strict crescătoare pe R\mathbb{R} dacă f′(x)>0f'(x) > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}.
62 puncte
Din pasul 4, a≥0a \geq 0 și b≥0b \geq 0. Observăm că dacă b>0b > 0, atunci când x→−∞x \to -\infty, ex→0e^{x} \to 0 și e−x→∞e^{-x} \to \infty, deci aex−be−x+c→−∞a e^{x} - b e^{-x} + c \to -\infty, deci f′(x)f'(x) devine negativă. Prin urmare, pentru a avea f′(x)>0f'(x) > 0 pentru orice xx, este necesar b=0b = 0.
71 punct
Dacă b=0b = 0, atunci f′(x)=aex+cf'(x) = a e^{x} + c. Pentru a avea f′(x)>0f'(x) > 0 pentru orice xx, minimul să fie >0>0. Minimul este atins când x→−∞x \to -\infty, unde aex→0a e^{x} \to 0, deci f′(x)→cf'(x) \to c. Așadar, necesită c>0c > 0.
81 punct
Verificare: dacă a≥0a \geq 0, b=0b = 0, c>0c > 0, atunci f′′(x)=aex≥0f''(x) = a e^{x} \geq 0 (convexă) și f′(x)=aex+c>0f'(x) = a e^{x} + c > 0 (strict crescătoare). Condițiile finale: a≥0a \geq 0, b=0b = 0, c>0c > 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.