MediuVectoriClasa 9

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriAplicații ale trigonometriei în geometrie
Se consideră vectorii a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b} cu ∣a⃗∣=5|\vec{a}| = 5, ∣b⃗∣=7|\vec{b}| = 7 și unghiul dintre ei θ=120∘\theta = 120^{\circ}. Calculați ∣a⃗+b⃗∣|\vec{a} + \vec{b}| și determinați măsura unghiului α\alpha dintre a⃗\vec{a} și a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Folosim formula pentru magnitudinea sumei vectorilor: ∣a⃗+b⃗∣2=∣a⃗∣2+∣b⃗∣2+2∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta. Înlocuim: 52+72+2⋅5⋅7⋅cos⁡(120∘)5^2 + 7^2 + 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos(120^{\circ}).\n
23 puncte
Calculăm cos⁡(120∘)=−12\cos(120^{\circ}) = -\frac{1}{2}, deci ∣a⃗+b⃗∣2=25+49+2⋅5⋅7⋅(−12)=74−35=39|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 25 + 49 + 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 74 - 35 = 39. Atunci ∣a⃗+b⃗∣=39|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{39}.\n
33 puncte
Pentru unghiul α\alpha, folosim produsul scalar: a⃗⋅(a⃗+b⃗)=∣a⃗∣∣a⃗+b⃗∣cos⁡α\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}| |\vec{a} + \vec{b}| \cos\alpha. Calculăm a⃗⋅a⃗+a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣2+∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ=25+5⋅7⋅(−12)=25−17.5=7.5\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = 25 + 5 \cdot 7 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 25 - 17.5 = 7.5. Atunci cos⁡α=7.55⋅39=1.539=3239=33978=3926\cos\alpha = \frac{7.5}{5 \cdot \sqrt{39}} = \frac{1.5}{\sqrt{39}} = \frac{3}{2\sqrt{39}} = \frac{3\sqrt{39}}{78} = \frac{\sqrt{39}}{26}. Deci α=arccos⁡(3926)\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{39}}{26}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.