MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Fie sistemul de ecuații liniare {3x−2y+z=5x+y−z=22x+ky+3z=8\begin{cases} 3x - 2y + z = 5 \\ x + y - z = 2 \\ 2x + ky + 3z = 8 \end{cases}, unde kk este un parametru real. Să se determine valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică, infinitate de soluții sau nu are soluție. Pentru k=1k=1, să se găsească soluția sistemului.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Identificăm matricea coeficienților A=(3−2111−12k3)A = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & k & 3 \end{pmatrix} și vectorul termenilor liberi B=(528)B = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix}.
23 puncte
Calculăm determinantul matricei AA: det⁡(A)=3⋅(1⋅3−(−1)⋅k)−(−2)⋅(1⋅3−(−1)⋅2)+1⋅(1⋅k−1⋅2)=3⋅(3+k)+2⋅(3+2)+(k−2)=9+3k+10+k−2=4k+17\det(A) = 3 \cdot (1 \cdot 3 - (-1) \cdot k) - (-2) \cdot (1 \cdot 3 - (-1) \cdot 2) + 1 \cdot (1 \cdot k - 1 \cdot 2) = 3 \cdot (3 + k) + 2 \cdot (3 + 2) + (k - 2) = 9 + 3k + 10 + k - 2 = 4k + 17.
33 puncte
Analizăm cazurile: dacă det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, adică k≠−174k \neq -\frac{17}{4}, sistemul are soluție unică. Pentru k=−174k = -\frac{17}{4}, det⁡(A)=0\det(A) = 0, așa că verificăm compatibilitatea calculând rangurile matricei AA și a matricei extinse. Dacă rangurile sunt egale cu 2, sistemul are infinitate de soluții; dacă sunt diferite, nu are soluție.
42 puncte
Pentru k=1k=1, det⁡(A)=4⋅1+17=21≠0\det(A) = 4 \cdot 1 + 17 = 21 \neq 0, deci sistemul are soluție unică. Rezolvăm sistemul, de exemplu prin metoda lui Cramer: x=det⁡(Ax)det⁡(A)x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)}, y=det⁡(Ay)det⁡(A)y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)}, z=det⁡(Az)det⁡(A)z = \frac{\det(A_z)}{\det(A)}, unde AxA_x, AyA_y, AzA_z sunt matricele obținute înlocuind coloana corespunzătoare cu BB. Calculăm: det⁡(Ax)=5⋅(1⋅3−(−1)⋅1)−(−2)⋅(2⋅3−(−1)⋅8)+1⋅(2⋅1−1⋅8)=5⋅(3+1)+2⋅(6+8)+(2−8)=20+28−6=42\det(A_x) = 5 \cdot (1 \cdot 3 - (-1) \cdot 1) - (-2) \cdot (2 \cdot 3 - (-1) \cdot 8) + 1 \cdot (2 \cdot 1 - 1 \cdot 8) = 5 \cdot (3 + 1) + 2 \cdot (6 + 8) + (2 - 8) = 20 + 28 - 6 = 42, deci x=4221=2x = \frac{42}{21} = 2. Similar, găsim y=1y = 1 și z=1z = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.