MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiGeometrie AnaliticăFuncția de gradul al II-lea
Fie punctele A(a,1)A(a,1), B(2,a)B(2,a), C(3,4)C(3,4) în planul cartezian, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui aa pentru care aria triunghiului ABCABC este egală cu 55 unități pătrate.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Aria triunghiului ABCABC se calculează cu formula care implică un determinant: Arie=12∣det⁡(a112a1341)∣\text{Arie} = \frac{1}{2} \left| \det \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 2 & a & 1 \\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} \right|.
24 puncte
Se calculează determinantul: det⁡=a⋅det⁡(a141)−1⋅det⁡(2131)+1⋅det⁡(2a34)=a(a⋅1−1⋅4)−1(2⋅1−1⋅3)+1(2⋅4−a⋅3)=a(a−4)−1(2−3)+1(8−3a)=a2−4a+1+8−3a=a2−7a+9\det = a \cdot \det \begin{pmatrix} a & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} - 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & a \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = a(a \cdot 1 - 1 \cdot 4) - 1(2 \cdot 1 - 1 \cdot 3) + 1(2 \cdot 4 - a \cdot 3) = a(a-4) - 1(2-3) + 1(8-3a) = a^2 - 4a + 1 + 8 - 3a = a^2 - 7a + 9.
33 puncte
Se pune condiția 12∣a2−7a+9∣=5\frac{1}{2} |a^2 - 7a + 9| = 5, deci ∣a2−7a+9∣=10|a^2 - 7a + 9| = 10. Se rezolvă: cazul a2−7a+9=10a^2 - 7a + 9 = 10 dă a2−7a−1=0a^2 - 7a - 1 = 0 cu soluțiile a=7±532a = \frac{7 \pm \sqrt{53}}{2}, iar cazul a2−7a+9=−10a^2 - 7a + 9 = -10 dă a2−7a+19=0a^2 - 7a + 19 = 0 cu discriminant negativ, deci nu are soluții reale. Valorile căutate sunt a=7±532a = \frac{7 \pm \sqrt{53}}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.