MediuContinuitateClasa 11

Problemă rezolvată de Continuitate

MediuContinuitateDerivateStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)=x3−1x−1f(x) = \frac{x^3 - 1}{x-1} pentru x≠1x \neq 1 și f(1)=af(1) = a, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Studiați continuitatea funcției în punctul x=1x=1 în funcție de parametrul aa. Apoi, pentru aa determinat, examinați dacă funcția este derivabilă în x=1x=1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați limita funcției când x→1x \to 1: lim⁡x→1f(x)=lim⁡x→1x3−1x−1=lim⁡x→1(x2+x+1)=3\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 3.
23 puncte
Stabiliți condiția de continuitate: funcția este continuă în x=1x=1 dacă lim⁡x→1f(x)=f(1)\lim_{x \to 1} f(x) = f(1), adică 3=a3 = a. Deci, pentru a=3a=3, funcția este continuă.
34 puncte
Pentru a=3a=3, studiați derivabilitatea: calculați derivata folosind definiția: f′(1)=lim⁡h→0f(1+h)−f(1)h=lim⁡h→0(1+h)3−1h−3h=lim⁡h→0h2+3h+3−3h=lim⁡h→0(h+3)=3f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{(1+h)^3 - 1}{h} - 3}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 + 3h + 3 - 3}{h} = \lim_{h \to 0} (h + 3) = 3. Astfel, funcția este derivabilă în x=1x=1 cu f′(1)=3f'(1)=3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Continuitate

Ușor#1ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡x→2x2−5x+6x2−12x+20\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}.
Ușor#2ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Calculați limita lim⁡x→2x3−3x−2x3−8\lim_{x\to 2}\frac{x^3-3x-2}{x^3-8}.
Ușor#3ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x3−2x−1x5−2x−1\lim_{x\to1} \frac{x^3 - 2x - 1}{x^5 - 2x - 1}.
Mediu#4ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→41+2x−3x−2\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 3}{\sqrt{x} - 2}.
Vezi toate problemele de Continuitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Continuitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.