MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptotePolinoameDomeniul de definiție al funcțiilor
Fie funcția f:R∖{0}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}, f(x)=x3+ax2+bx+cx2f(x) = \frac{x^3 + ax^2 + bx + c}{x^2}. Determinați a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât graficul funcției să admită asimptota oblică y=x+2y = x + 2, asimptota verticală x=0x = 0, și f(1)=4f(1) = 4.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Asimptota verticală x=0x=0 este dată de zeroul numitorului, x2=0x^2=0.
23 puncte
Efectuăm împărțirea polinomului x3+ax2+bx+cx^3 + ax^2 + bx + c la x2x^2 și obținem f(x)=x+a+bx+cx2f(x) = x + a + \frac{bx + c}{x^2}.
32 puncte
Pentru asimptota oblică y=x+2y=x+2, comparăm: x+a=x+2x + a = x + 2, deci a=2a = 2.
42 puncte
Folosim f(1)=4f(1)=4: f(1)=1+a+b+c1=1+a+b+c=4f(1) = \frac{1 + a + b + c}{1} = 1 + a + b + c = 4, cu a=2a=2 obținem 3+b+c=43 + b + c = 4, deci b+c=1b + c = 1.
52 puncte
Pentru asimptota verticală x=0x=0, trebuie ca lim⁡x→0f(x)\lim_{x \to 0} f(x) să fie infinit, ceea ce este adevărat dacă c≠0c \neq 0 sau b≠0b \neq 0; din b+c=1b+c=1, această condiție este îndeplinită, deci orice b,cb,c cu b+c=1b+c=1 funcționează, de exemplu b=0,c=1b=0, c=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.