MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateStudiul funcțiilorDerivate
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=eax−bxf(x) = e^{ax} - bx, cu a>0a > 0 și b>0b > 0 parametri reali. Studiați monotonia și convexitatea funcției ff în funcție de parametrii aa și bb.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculați derivata întâi f′(x)=aeax−bf'(x) = a e^{ax} - b și derivata a doua f′′(x)=a2eaxf''(x) = a^2 e^{ax}.
23 puncte
Pentru monotonia, analizați semnul lui f′(x)f'(x). Ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 dă eax=bae^{ax} = \frac{b}{a}, deci x0=1aln⁡(ba)x_0 = \frac{1}{a} \ln \left( \frac{b}{a} \right) (există deoarece ba>0\frac{b}{a} > 0). Dacă x<x0x < x_0, atunci f′(x)<0f'(x) < 0 și ff este descrescătoare; dacă x>x0x > x_0, atunci f′(x)>0f'(x) > 0 și ff este crescătoare.
33 puncte
Pentru convexitatea, deoarece f′′(x)=a2eax>0f''(x) = a^2 e^{ax} > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R} (deoarece a>0a>0), funcția ff este convexă pe întregul domeniu R\mathbb{R}.
42 puncte
Concluzie: ff este convexă pe R\mathbb{R}, iar monotonia are un punct critic în x0=1aln⁡(ba)x_0 = \frac{1}{a} \ln \left( \frac{b}{a} \right), fiind descrescătoare pe (−∞,x0](-\infty, x_0] și crescătoare pe [x0,∞)[x_0, \infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.