MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră sistemul de ecuații liniare cu parametrul real aa: {x+2y−z=12x−y+az=2x+y+z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x - y + az = 2 \\ x + y + z = 3 \end{cases}. Determinați valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică, și apoi rezolvați sistemul pentru a=2a=2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm determinantul matricii coeficienților: Δ=∣12−12−1a111∣\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & a \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}. Dezvoltăm după prima linie: Δ=1⋅∣−1a11∣−2⋅∣2a11∣+(−1)⋅∣2−111∣=1⋅((−1)⋅1−a⋅1)−2⋅(2⋅1−a⋅1)−1⋅(2⋅1−(−1)⋅1)=(−1−a)−2(2−a)−(2+1)=−1−a−4+2a−3=a−8\Delta = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & a \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & a \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot ((-1)\cdot1 - a\cdot1) - 2 \cdot (2\cdot1 - a\cdot1) - 1 \cdot (2\cdot1 - (-1)\cdot1) = (-1 - a) - 2(2 - a) - (2 + 1) = -1 - a - 4 + 2a - 3 = a - 8.
22 puncte
Sistemul are soluție unică dacă Δ≠0\Delta \neq 0, deci a−8≠0⇒a≠8a - 8 \neq 0 \Rightarrow a \neq 8.
35 puncte
Pentru a=2a=2, sistemul devine: {x+2y−z=12x−y+2z=2x+y+z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x - y + 2z = 2 \\ x + y + z = 3 \end{cases}. Scădem prima ecuație din a treia: (x+y+z)−(x+2y−z)=3−1⇒−y+2z=2(x+y+z) - (x+2y-z) = 3-1 \Rightarrow -y+2z=2. Din a doua ecuație: 2x−y+2z=22x-y+2z=2. Din prima: x+2y−z=1x+2y-z=1. Rezolvăm: din −y+2z=2-y+2z=2, avem y=2z−2y=2z-2. Înlocuim în prima: x+2(2z−2)−z=1⇒x+4z−4−z=1⇒x+3z=5⇒x=5−3zx+2(2z-2)-z=1 \Rightarrow x+4z-4-z=1 \Rightarrow x+3z=5 \Rightarrow x=5-3z. Înlocuim în a doua: 2(5−3z)−(2z−2)+2z=2⇒10−6z−2z+2+2z=2⇒12−6z=2⇒6z=10⇒z=532(5-3z) - (2z-2) + 2z = 2 \Rightarrow 10-6z-2z+2+2z=2 \Rightarrow 12-6z=2 \Rightarrow 6z=10 \Rightarrow z=\frac{5}{3}. Atunci x=5−3⋅53=5−5=0x=5-3\cdot\frac{5}{3}=5-5=0, și y=2⋅53−2=103−63=43y=2\cdot\frac{5}{3}-2=\frac{10}{3}-\frac{6}{3}=\frac{4}{3}. Soluția este (0,43,53)\left(0, \frac{4}{3}, \frac{5}{3}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.