MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Fie sistemul de ecuații liniare cu parametrul real mm: {(m+1)x+2y−z=3x−my+z=02x+y+(m−1)z=1\begin{cases} (m+1)x + 2y - z = 3 \\ x - my + z = 0 \\ 2x + y + (m-1)z = 1 \end{cases}. a) Determinați valorile lui mm pentru care sistemul are soluție unică. b) Pentru m=0m=0, rezolvați sistemul folosind regula lui Cramer.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem matricea sistemului A=(m+12−11−m121m−1)A = \begin{pmatrix} m+1 & 2 & -1 \\ 1 & -m & 1 \\ 2 & 1 & m-1 \end{pmatrix} și calculăm determinantul det⁡(A)=(m+1)(−m)(m−1)+2⋅1⋅2+(−1)⋅1⋅1−(−1)⋅(−m)⋅2−(m+1)⋅1⋅1−2⋅1⋅(m−1)\det(A) = (m+1)(-m)(m-1) + 2 \cdot 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 \cdot 1 - (-1) \cdot (-m) \cdot 2 - (m+1) \cdot 1 \cdot 1 - 2 \cdot 1 \cdot (m-1). Simplificând, obținem det⁡(A)=−m3+m2+m−1\det(A) = -m^3 + m^2 + m - 1.
23 puncte
Sistemul are soluție unică dacă det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0. Rezolvăm ecuația −m3+m2+m−1=0-m^3 + m^2 + m - 1 = 0. Factorizăm: −m3+m2+m−1=−(m−1)2(m+1)-m^3 + m^2 + m - 1 = -(m-1)^2(m+1). Astfel, det⁡(A)=0\det(A)=0 pentru m=1m=1 sau m=−1m=-1. Deci, pentru m∈R∖{1,−1}m \in \mathbb{R} \setminus \{1, -1\}, sistemul are soluție unică.
34 puncte
Pentru m=0m=0, sistemul devine {x+2y−z=3x+z=02x+y−z=1\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ x + z = 0 \\ 2x + y - z = 1 \end{cases}. Aplicăm regula lui Cramer. Calculăm Δ=det⁡(A)\Delta = \det(A) pentru m=0m=0: Δ=−1\Delta = -1. Apoi, Δx=∣32−100111−1∣=−1\Delta_x = \begin{vmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -1, Δy=∣13−110121−1∣=7\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 7, Δz=∣123100211∣=1\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1. Soluția este x=ΔxΔ=1x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = 1, y=ΔyΔ=−7y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = -7, z=ΔzΔ=−1z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = -1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.