MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați numărul de triplete (x,y,z)(x,y,z) de numere întregi nenegative care satisfac ecuația x+y+z=15x + y + z = 15 și condițiile x≤5x \leq 5 și y≥2y \geq 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Fără condiții, numărul de soluții ale x+y+z=15x+y+z=15 în numere întregi nenegative este dat de combinări cu repetiție: C15+3−13−1=C172=136C_{15+3-1}^{3-1} = C_{17}^2 = 136.
24 puncte
Aplicăm condiția y≥2y \geq 2 prin substituția y′=y−2y' = y - 2, cu y′≥0y' \geq 0. Ecuația devine x+y′+z=13x + y' + z = 13, cu numărul de soluții C13+3−12=C152=105C_{13+3-1}^{2} = C_{15}^2 = 105.
33 puncte
Aplicăm condiția x≤5x \leq 5 scăzând soluțiile cu x≥6x \geq 6. Notăm x′=x−6x' = x - 6, cu x′≥0x' \geq 0, ecuația devine x′+y′+z=7x' + y' + z = 7, cu numărul de soluții C7+3−12=C92=36C_{7+3-1}^{2} = C_{9}^2 = 36. Numărul final este 105−36=69105 - 36 = 69.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.