MediuSisteme de Ecuații NeliniareClasa 9

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Neliniare

MediuSisteme de Ecuații NeliniareProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie a,b,ca, b, c numere reale pozitive în progresie geometrică. Dacă a2+b2+c2=21a^2 + b^2 + c^2 = 21 și ab+bc+ca=10ab + bc + ca = 10, să se determine aceste numere.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Deoarece a,b,ca, b, c sunt în progresie geometrică, există r>0r > 0 astfel încât b=arb = a r și c=ar2c = a r^2. Înlocuind în ecuații, obținem sistemul: {a2(1+r2+r4)=21a2(r+r2+r3)=10\begin{cases} a^2(1 + r^2 + r^4) = 21 \\ a^2(r + r^2 + r^3) = 10 \end{cases}.
23 puncte
Notăm u=r+1ru = r + \frac{1}{r}. Atunci r2+1r2=u2−2r^2 + \frac{1}{r^2} = u^2 - 2. Prima ecuație devine a2(1+u2−2)=a2(u2−1)=21a^2(1 + u^2 - 2) = a^2(u^2 - 1) = 21. Pentru a doua ecuație, considerăm reprezentarea x=bx = b, cu a=xra = \frac{x}{r} și c=xrc = x r. Atunci ab+bc+ca=x2(1r+r+1)=x2(1+u)=10ab + bc + ca = x^2 \left( \frac{1}{r} + r + 1 \right) = x^2(1 + u) = 10, și a2+b2+c2=x2(1r2+1+r2)=x2(u2−1)=21a^2 + b^2 + c^2 = x^2 \left( \frac{1}{r^2} + 1 + r^2 \right) = x^2(u^2 - 1) = 21.
33 puncte
Din x2(1+u)=10x^2(1+u) = 10, avem x2=101+ux^2 = \frac{10}{1+u}. Înlocuind în x2(u2−1)=21x^2(u^2 -1) = 21, obținem 101+u⋅(u2−1)=21\frac{10}{1+u} \cdot (u^2 -1) = 21. Dar u2−1=(u−1)(u+1)u^2 -1 = (u-1)(u+1), deci 10(u−1)=2110(u-1) = 21, așadar u−1=2110u-1 = \frac{21}{10}, deci u=3110u = \frac{31}{10}.
41 punct
Atunci x2=101+u=104110=10041x^2 = \frac{10}{1+u} = \frac{10}{\frac{41}{10}} = \frac{100}{41}, deci x=1041x = \frac{10}{\sqrt{41}} (pozitiv). Din u=r+1r=3110u = r + \frac{1}{r} = \frac{31}{10}, rezolvăm 10r2−31r+10=010r^2 - 31r + 10 = 0, cu soluțiile r=31±56120r = \frac{31 \pm \sqrt{561}}{20}. Numerele sunt a=xra = \frac{x}{r}, b=xb = x, c=xrc = x r, cu x=1041x = \frac{10}{\sqrt{41}} și rr calculat.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Neliniare

Ușor#1Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: y+x−1=0y + x - 1 = 0, ∣y∣−x−1=0|y| - x - 1 = 0
Ușor#2Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: x+3∣y∣−1=0x + 3|y| - 1 = 0, x+y+3=0x + y + 3 = 0
Mediu#3Sisteme de Ecuații NeliniareFuncția de gradul I
Rezolvați sistemul: y−2x+1=0y - 2x + 1 = 0, y−∣x∣−1=0y - |x| - 1 = 0
Ușor#4Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: ∣x−1∣+y=0|x - 1| + y = 0, 2x−y=12x - y = 1
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Neliniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Neliniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.