MediuContinuitateClasa 11

Problemă rezolvată de Continuitate

MediuContinuitateStudiul funcțiilorSisteme de Ecuații Liniare
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)={sin⁡(ax)daca˘ x<0bx2+cdaca˘ 0≤x≤1ln⁡(x+1)daca˘ x>1f(x) = \begin{cases} \sin(ax) & \text{dacă } x < 0 \\ b x^2 + c & \text{dacă } 0 \leq x \leq 1 \\ \ln(x+1) & \text{dacă } x > 1 \end{cases}, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Să se determine valorile lui a,b,ca, b, c pentru care ff este continuă pe R\mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se calculează limitele laterale și valorile funcției în punctele critice x=0 și x=1. Pentru x=0: lim⁡x→0−f(x)=lim⁡x→0−sin⁡(ax)=0\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \sin(ax) = 0, lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+(bx2+c)=c\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (b x^2 + c) = c, f(0)=cf(0) = c. Pentru x=1: lim⁡x→1−f(x)=lim⁡x→1−(bx2+c)=b+c\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (b x^2 + c) = b + c, lim⁡x→1+f(x)=lim⁡x→1+ln⁡(x+1)=ln⁡(2)\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \ln(x+1) = \ln(2), f(1)=b+cf(1) = b + c.
23 puncte
Se impun condițiile de continuitate. În x=0: 0=c0 = c, deci c=0c=0. În x=1: b+c=ln⁡(2)b + c = \ln(2).
33 puncte
Se rezolvă sistemul: cu c=0c=0, obținem b=ln⁡(2)b = \ln(2). Parametrul aa poate fi orice număr real, deoarece funcția sin⁡(ax)\sin(ax) este continuă pentru orice aa. Soluția: a∈Ra \in \mathbb{R}, b=ln⁡(2)b = \ln(2), c=0c = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Continuitate

Ușor#1ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡x→2x2−5x+6x2−12x+20\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}.
Ușor#2ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Calculați limita lim⁡x→2x3−3x−2x3−8\lim_{x\to 2}\frac{x^3-3x-2}{x^3-8}.
Ușor#3ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x3−2x−1x5−2x−1\lim_{x\to1} \frac{x^3 - 2x - 1}{x^5 - 2x - 1}.
Mediu#4ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→41+2x−3x−2\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 3}{\sqrt{x} - 2}.
Vezi toate problemele de Continuitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Continuitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.