MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorAsimptoteStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R∖{0}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}, f(x)=x+1xf(x) = x + \frac{1}{x}. a) Studiați monotonia și determinați punctele de extrem ale funcției. b) Determinați asimptotele graficului funcției. c) Trasați schița graficului funcției pe baza informațiilor obținute.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se calculează derivata: f′(x)=1−1x2f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}.
22 puncte
Se rezolvă f′(x)=0f'(x) = 0, adică 1−1x2=01 - \frac{1}{x^2} = 0, deci x2=1x^2 = 1, x=±1x = \pm 1.
32 puncte
Se studiază semnul lui f′(x)f'(x): pentru x<−1x < -1 sau x>1x > 1, f′(x)>0f'(x) > 0, deci ff este strict crescătoare; pentru −1<x<0-1 < x < 0 sau 0<x<10 < x < 1, f′(x)<0f'(x) < 0, deci ff este strict descrescătoare. Punctele x=−1x=-1 și x=1x=1 sunt puncte de extrem: x=−1x=-1 este maxim local cu f(−1)=−2f(-1) = -2, x=1x=1 este minim local cu f(1)=2f(1) = 2.
42 puncte
Asimptote: verticală la x=0x=0 deoarece lim⁡x→0+f(x)=+∞\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty și lim⁡x→0−f(x)=−∞\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty. Asimptotă oblică: pentru x→±∞x \to \pm\infty, m=lim⁡x→±∞f(x)x=1m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = 1, n=lim⁡x→±∞(f(x)−mx)=lim⁡x→±∞1x=0n = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} = 0, deci asimptota este y=xy = x.
52 puncte
Schița graficului: se trasează asimptotele x=0x=0 și y=xy=x, punctele de extrem (−1,−2)(-1,-2) și (1,2)(1,2), și comportamentul funcției pe intervalele determinate, respectând monotonția și limitele.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.