MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareVectoriGeometrie Analitică
Se dă dreapta dd în spațiul tridimensional definită de sistemul de ecuații liniare: {x+y−z=02x−y+z=1\begin{cases} x + y - z = 0 \\ 2x - y + z = 1 \end{cases} și planul π\pi cu ecuația x+y+z=1x + y + z = 1. Determinați coordonatele punctului de intersecție al dreptei dd cu planul π\pi.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Pentru a găsi intersecția, formăm un sistem de trei ecuații liniare adăugând ecuația planului la sistemul dreptei: {x+y−z=02x−y+z=1x+y+z=1\begin{cases} x + y - z = 0 \\ 2x - y + z = 1 \\ x + y + z = 1 \end{cases}.
24 puncte
Rezolvăm sistemul. Din prima ecuație, x+y=zx+y=z; din a treia, x+y=1−zx+y=1-z. Egalând, obținem z=1−z⇒2z=1⇒z=12z=1-z \Rightarrow 2z=1 \Rightarrow z=\frac{1}{2}. Înlocuind în prima ecuație: x+y=12x+y=\frac{1}{2}. Din a doua ecuație: 2x−y+12=1⇒2x−y=122x - y + \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow 2x - y = \frac{1}{2}. Rezolvăm sistemul {x+y=122x−y=12\begin{cases} x+y=\frac{1}{2} \\ 2x-y=\frac{1}{2} \end{cases} adunând ecuațiile: 3x=1⇒x=133x=1 \Rightarrow x=\frac{1}{3}, apoi y=12−13=16y=\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}.
33 puncte
Verificăm soluția în toate ecuațiile și prezentăm coordonatele punctului de intersecție: P(13,16,12)P\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.