MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteDerivateStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R∖{a}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{a\} \to \mathbb{R}, f(x)=2x2+bx+cx−af(x) = \frac{2x^2 + bx + c}{x - a}. Determinați parametrii reali a,b,ca, b, c astfel încât graficul funcției să aibă asimptota verticală x=3x = 3, asimptota oblică y=2x+1y = 2x + 1 și asimptota oblică să intersecteze graficul în punctul de abscisă x=1x = 1. Apoi, pentru valorile găsite, studiați monotonia funcției pe domeniul său de definiție.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Pentru asimptota verticală x=3x=3, rezultă că numitorul se anulează la x=3x=3, deci a=3a=3.
23 puncte
Scriind funcția sub forma f(x)=2x+(b+6)+c+3(b+6)x−3f(x)=2x+(b+6)+\frac{c+3(b+6)}{x-3}, din condiția ca asimptota oblică să fie y=2x+1y=2x+1, se obține b+6=1b+6=1, deci b=−5b=-5.
32 puncte
Din condiția de intersecție, f(1)=3f(1)=3, adică 2⋅12+(−5)⋅1+c1−3=3\frac{2\cdot1^2 + (-5)\cdot1 + c}{1-3}=3, rezultă c=9c=9.
43 puncte
Studierea monotoniei: se calculează derivata f′(x)=2x2−12x+6(x−3)2f'(x)=\frac{2x^2-12x+6}{(x-3)^2}, se determină rădăcinile numeratorului x=3±6x=3\pm\sqrt{6} și se analizează semnul pe intervalele (−∞,3−6)(-\infty,3-\sqrt{6}), (3−6,3)(3-\sqrt{6},3), (3,3+6)(3,3+\sqrt{6}), (3+6,∞)(3+\sqrt{6},\infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.