MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieGeometrie Analitică
Într-un sistem de coordonate carteziene, triunghiul ABC are vârfurile A(1,2), B(4,6), și C(6,3). Calculați măsurile unghiurilor acestui triunghi.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm lungimile laturilor: AB=(4−1)2+(6−2)2=32+42=5AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5, BC=(6−4)2+(3−6)2=22+(−3)2=13BC = \sqrt{(6-4)^2 + (3-6)^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}, AC=(6−1)2+(3−2)2=52+12=26AC = \sqrt{(6-1)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{26}.
24 puncte
Aplicăm teorema cosinusului. Pentru ∠A\angle A: cos⁡A=AB2+AC2−BC22⋅AB⋅AC=25+26−132⋅5⋅26=381026=19526\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{25 + 26 - 13}{2 \cdot 5 \cdot \sqrt{26}} = \frac{38}{10\sqrt{26}} = \frac{19}{5\sqrt{26}}. Similar, cos⁡B=AB2+BC2−AC22⋅AB⋅BC=25+13−262⋅5⋅13=121013=6513\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{25 + 13 - 26}{2 \cdot 5 \cdot \sqrt{13}} = \frac{12}{10\sqrt{13}} = \frac{6}{5\sqrt{13}}, și cos⁡C=AC2+BC2−AB22⋅AC⋅BC=26+13−252⋅26⋅13=142338=7338=7338338\cos C = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} = \frac{26 + 13 - 25}{2 \cdot \sqrt{26} \cdot \sqrt{13}} = \frac{14}{2\sqrt{338}} = \frac{7}{\sqrt{338}} = \frac{7\sqrt{338}}{338}.
33 puncte
Unghiurile sunt: ∠A=arccos⁡(19526)\angle A = \arccos\left(\frac{19}{5\sqrt{26}}\right), ∠B=arccos⁡(6513)\angle B = \arccos\left(\frac{6}{5\sqrt{13}}\right), ∠C=arccos⁡(7338)\angle C = \arccos\left(\frac{7}{\sqrt{338}}\right). Se pot da și valori aproximative: ∠A≈29.7∘\angle A \approx 29.7^\circ, ∠B≈56.3∘\angle B \approx 56.3^\circ, ∠C≈94.0∘\angle C \approx 94.0^\circ (verificând suma 180∘180^\circ).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.