MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriMatriciTrigonometrie
Se consideră matricea B=(2103)B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}. Determinați valorile proprii și vectorii proprii ai matricei BB, apoi calculați unghiul dintre cei doi vectori proprii.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Ecuația caracteristică: det⁡(B−λI)=∣2−λ103−λ∣=(2−λ)(3−λ)=0\det(B - \lambda I) = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 0 & 3-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)(3-\lambda) = 0, deci valorile proprii sunt λ1=2\lambda_1 = 2 și λ2=3\lambda_2 = 3.
24 puncte
Pentru λ1=2\lambda_1 = 2, rezolvăm (B−2I)x⃗=0⃗(B - 2I)\vec{x} = \vec{0}: (0101)(x1x2)=(00)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}, deci x2=0x_2 = 0, iar x1x_1 liber; un vector propriu este v⃗1=(1,0)\vec{v}_1 = (1, 0). Pentru λ2=3\lambda_2 = 3, (B−3I)x⃗=0⃗(B - 3I)\vec{x} = \vec{0}: (−1100)(x1x2)=(00)\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}, deci −x1+x2=0-x_1 + x_2 = 0 sau x1=x2x_1 = x_2; un vector propriu este v⃗2=(1,1)\vec{v}_2 = (1, 1).
33 puncte
Unghiul ϕ\phi dintre v⃗1\vec{v}_1 și v⃗2\vec{v}_2: cos⁡ϕ=v⃗1⋅v⃗2∣v⃗1∣∣v⃗2∣=1⋅1+0⋅112+0212+12=11⋅2=22\cos\phi = \frac{\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2}{|\vec{v}_1| |\vec{v}_2|} = \frac{1 \cdot 1 + 0 \cdot 1}{\sqrt{1^2+0^2} \sqrt{1^2+1^2}} = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}, deci ϕ=45∘\phi = 45^\circ sau π4\frac{\pi}{4} radiani.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.