MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați suma S=Cn0+2Cn1+3Cn2+⋯+(n+1)CnnS = C_n^0 + 2C_n^1 + 3C_n^2 + \dots + (n+1)C_n^n pentru n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem suma sub formă compactă: S=∑k=0n(k+1)CnkS = \sum_{k=0}^{n} (k+1) C_n^k.
23 puncte
Folosim identitatea kCnk=nCn−1k−1k C_n^k = n C_{n-1}^{k-1} pentru k≥1k \geq 1.
33 puncte
Transformăm suma: S=∑k=0nCnk+∑k=0nkCnk=2n+n∑k=1nCn−1k−1S = \sum_{k=0}^{n} C_n^k + \sum_{k=0}^{n} k C_n^k = 2^n + n \sum_{k=1}^{n} C_{n-1}^{k-1}.
42 puncte
∑k=1nCn−1k−1=∑j=0n−1Cn−1j=2n−1\sum_{k=1}^{n} C_{n-1}^{k-1} = \sum_{j=0}^{n-1} C_{n-1}^{j} = 2^{n-1}. Astfel, S=2n+n⋅2n−1=2n−1(2+n)=(n+2)2n−1S = 2^n + n \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1}(2 + n) = (n+2)2^{n-1}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.