MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Considerăm funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. Determinați intervalele de monotonie și intervalele de convexitate/concavitate ale funcției ff. Apoi, demonstrați că funcția are un punct de inflexiune și calculați valoarea funcției în acel punct.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x. Rezolvăm f′(x)=0f'(x) = 0 pentru a găsi punctele critice: 3x2−6x=0⇒x(x−2)=03x^2 - 6x = 0 \Rightarrow x(x-2)=0, deci x=0x=0 și x=2x=2.
23 puncte
Studiem semnul derivatei întâi. Pentru x∈(−∞,0)x \in (-\infty,0), f′(x)>0f'(x) > 0, deci ff crescătoare; pentru x∈(0,2)x \in (0,2), f′(x)<0f'(x) < 0, deci ff descrescătoare; pentru x∈(2,∞)x \in (2,\infty), f′(x)>0f'(x) > 0, deci ff crescătoare. Astfel, intervalele de monotonie sunt: crescătoare pe (−∞,0](-\infty,0] și [2,∞)[2,\infty), descrescătoare pe [0,2][0,2].
32 puncte
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6. Rezolvăm f′′(x)=0f''(x) = 0: 6x−6=0⇒x=16x-6=0 \Rightarrow x=1.
42 puncte
Studiem semnul derivatei a doua. Pentru x<1x<1, f′′(x)<0f''(x) < 0, deci ff concavă; pentru x>1x>1, f′′(x)>0f''(x) > 0, deci ff convexă. Punctul x=1x=1 este punct de inflexiune, deoarece semnul derivatei a doua se schimbă. Valoarea funcției în acest punct: f(1)=13−3⋅12+4=2f(1) = 1^3 - 3\cdot1^2 + 4 = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.