MediuIdentități algebriceClasa 11

Problemă rezolvată de Identități algebrice

MediuIdentități algebriceȘiruri de numere reale
Calculați suma S=12+22+32+⋯+n2S = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 folosind identitatea (k+1)3−k3=3k2+3k+1(k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem identitatea (k+1)3−k3=3k2+3k+1(k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1 pentru k=1,2,…,nk=1,2,\dots,n.
24 puncte
Sumăm aceste egalități: [(23−13)+(33−23)+⋯+((n+1)3−n3)]=3S+3⋅n(n+1)2+n[(2^3 - 1^3) + (3^3 - 2^3) + \dots + ((n+1)^3 - n^3)] = 3S + 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n, unde S=12+22+⋯+n2S = 1^2 + 2^2 + \dots + n^2. Suma din stânga este telescopantă și egală cu (n+1)3−13(n+1)^3 - 1^3.
33 puncte
Obținem (n+1)3−1=3S+3n(n+1)2+n(n+1)^3 - 1 = 3S + \frac{3n(n+1)}{2} + n. Rezolvând pentru SS: 3S=(n+1)3−1−3n(n+1)2−n=n3+3n2+3n+1−1−3n2+3n2−n=n3+3n22+n23S = (n+1)^3 - 1 - \frac{3n(n+1)}{2} - n = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - 1 - \frac{3n^2 + 3n}{2} - n = n^3 + \frac{3n^2}{2} + \frac{n}{2}. Simplificând, S=n(n+1)(2n+1)6S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Identități algebrice

Greu#1Identități algebrice
Se consideră numerele reale x,y,zx, y, z care verifică x+y+z=0x + y + z = 0 și x2+y2+z2=6x^2 + y^2 + z^2 = 6. a) Demonstrați că xy+yz+zx=−3xy + yz + zx = -3. b) Calculați x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3. c) Determinați valoarea maximă a lui xyzxyz. d) Pentru x=1x = 1, determinați valorile lui yy și zz.
Greu#2Identități algebrice
Fie a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât a+b+c=0a + b + c = 0. Demonstrați că: a) a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc. b) a5+b5+c5=5abc(ab+bc+ca)a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(ab + bc + ca). c) Calculați a7+b7+c7abc(ab+bc+ca)\frac{a^7 + b^7 + c^7}{abc(ab + bc + ca)} dacă abc≠0abc \neq 0.
Ușor#3Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze că pentru orice numere reale aa și bb, cu a≠ba \neq b, are loc identitatea: a2−b2a−b=a+b\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b. Apoi, folosind această identitate, să se calculeze valoarea expresiei E=32−223−2+52−325−3E = \frac{3^2 - 2^2}{3 - 2} + \frac{5^2 - 3^2}{5 - 3}.
Mediu#4Identități algebriceTrigonometrie
Demonstrați identitatea sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) și rezolvați ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].
Vezi toate problemele de Identități algebrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Identități algebrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.